giúp tôi gải toán đi

Câu 1. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Hàm số được coi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm dần khi giá trị của biến tăng lên trong khoảng đó. Dựa vào bảng biến thiên: - Trên khoảng $(-\infty; -1)$, hàm số đồng biến (tức là giá trị của hàm số tăng dần khi giá trị của biến tăng lên). - Trên khoảng $(-1; 0)$, hàm số nghịch biến (tức là giá trị của hàm số giảm dần khi giá trị của biến tăng lên). - Trên khoảng $(0; 1)$, hàm số đồng biến (tức là giá trị của hàm số tăng dần khi giá trị của biến tăng lên). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 0)$. Vậy đáp án đúng là: C. $(-1; 0)$ Câu 2. Để xác định điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị, ta cần tìm điểm mà tại đó giá trị của hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng lân cận của nó. Trên đồ thị, ta thấy: - Tại \( x = -2 \), giá trị của hàm số là \( f(-2) \). - Tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là \( f(-1) \). - Tại \( x = 1 \), giá trị của hàm số là \( f(1) \). - Tại \( x = 2 \), giá trị của hàm số là \( f(2) \). Ta quan sát thấy rằng: - Khi \( x \) tăng dần từ trái sang phải, giá trị của hàm số tăng đến đỉnh điểm tại \( x = -1 \) rồi giảm đi. - Sau đó, giá trị của hàm số tiếp tục tăng đến đỉnh điểm tại \( x = 1 \) rồi giảm đi. Từ đó, ta nhận thấy rằng giá trị của hàm số đạt cực đại tại hai điểm \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có điểm \( x = -1 \) nằm trong danh sách các đáp án. Do đó, hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại điểm \( x = -1 \). Đáp án đúng là: C. \( x = -1 \). Câu 3. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) trên đoạn \([1; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] 2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng (1, 4): \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Trong đó, \( x = 0 \) nằm ngoài khoảng \([1; 4]\), nên ta chỉ xét \( x = 2 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] \[ f(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20 \] 4. So sánh các giá trị để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị nhỏ nhất \( m \) là \( f(2) = 0 \) - Giá trị lớn nhất \( M \) là \( f(4) = 20 \) 5. Tính tổng \( M + m \): \[ M + m = 20 + 0 = 20 \] Vậy tổng \( M + m \) bằng 20. Đáp án đúng là: C. 20 Câu 4. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x + 1} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \) tiến đến vô cùng, \(\frac{1}{x}\) tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \] 2. Tương tự, tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến âm vô cùng: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 1}{x + 1} \] Ta cũng chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \) tiến đến âm vô cùng, \(\frac{1}{x}\) tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) là \( y = 2 \). Đáp án đúng là: C. \( y = 2 \). Câu 5. Để tìm số nghiệm của phương trình \( f(x) + 3 = 0 \), ta cần tìm các giá trị \( x \) sao cho \( f(x) = -3 \). Bước 1: Xác định các giá trị của \( f(x) \) từ bảng biến thiên: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). - \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = 2 \). - \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = -2 \). Bước 2: Xét phương trình \( f(x) = -3 \): - Ta thấy rằng \( f(x) \) đạt giá trị \( -3 \) ở hai điểm nằm giữa các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). Cụ thể, vì \( f(x) \) liên tục và tăng dần từ \( -\infty \) đến \( 2 \) rồi giảm xuống \( -2 \) và tiếp tục tăng lên \( +\infty \), nên \( f(x) = -3 \) sẽ có hai nghiệm. Do đó, phương trình \( f(x) + 3 = 0 \) có 2 nghiệm. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 6. Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta sẽ phân tích các đặc điểm của bảng biến thiên và so sánh với các hàm số đã cho. Bước 1: Xác định các đặc điểm từ bảng biến thiên: - Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Hàm số có giới hạn khi \( x \to -\infty \) là \( -\infty \) và khi \( x \to +\infty \) là \( +\infty \). Bước 2: So sánh với các hàm số đã cho: - Hàm số \( f(x) = x^3 - 3x \): - Ta tính đạo hàm: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - Khi \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Vậy hàm số \( f(x) = x^3 - 3x \) có hai điểm cực đại tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \), và một điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). Điều này phù hợp với bảng biến thiên đã cho. - Hàm số \( g(x) = x^3 + 3x \): - Ta tính đạo hàm: \( g'(x) = 3x^2 + 3 \). - Giải phương trình \( g'(x) = 0 \): \( 3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \) (không có nghiệm thực). - Do đó, hàm số \( g(x) = x^3 + 3x \) không có cực đại hoặc cực tiểu, không phù hợp với bảng biến thiên. - Hàm số \( h(x) = x^3 - 3x^2 \): - Ta tính đạo hàm: \( h'(x) = 3x^2 - 6x \). - Giải phương trình \( h'(x) = 0 \): \( 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \) hoặc \( x = 2 \). - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - Khi \( x < 0 \), \( h'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( 0 < x < 2 \), \( h'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 2 \), \( h'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Vậy hàm số \( h(x) = x^3 - 3x^2 \) có một điểm cực đại tại \( x = 0 \) và một điểm cực tiểu tại \( x = 2 \), không phù hợp với bảng biến thiên. Từ các phân tích trên, hàm số phù hợp với bảng biến thiên là \( f(x) = x^3 - 3x \). Đáp án: \( f(x) = x^3 - 3x \).