Giúp tôi với

Câu 1: Bài toán: Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn. Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải: 1. Gọi độ dài đoạn dây thứ nhất là \( a \) cm, đoạn dây thứ hai là \( b \) cm. 2. Ta có: \( a + b = 120 \). 3. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, cạnh của hình vuông là \( \frac{a}{4} \). Diện tích hình vuông là \( S_{vuông} = \left( \frac{a}{4} \right)^2 = \frac{a^2}{16} \). 4. Đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn, chu vi của vòng tròn là \( b \). Bán kính của vòng tròn là \( r = \frac{b}{2\pi} \). Diện tích hình tròn là \( S_{tròn} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{b}{2\pi} \right)^2 = \frac{b^2}{4\pi} \). 5. Tổng diện tích là: \[ S = \frac{a^2}{16} + \frac{b^2}{4\pi} \] 6. Thay \( b = 120 - a \) vào biểu thức trên: \[ S = \frac{a^2}{16} + \frac{(120 - a)^2}{4\pi} \] 7. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( a \): \[ S' = \frac{2a}{16} + \frac{2(120 - a)(-1)}{4\pi} = \frac{a}{8} - \frac{120 - a}{2\pi} \] 8. Đặt \( S' = 0 \): \[ \frac{a}{8} = \frac{120 - a}{2\pi} \] \[ a \cdot 2\pi = 8 \cdot (120 - a) \] \[ 2\pi a = 960 - 8a \] \[ a(2\pi + 8) = 960 \] \[ a = \frac{960}{2\pi + 8} \approx 63.66 \text{ cm} \] 9. Thay \( a \approx 63.66 \) vào \( b = 120 - a \): \[ b \approx 120 - 63.66 = 56.34 \text{ cm} \] 10. Tính diện tích tổng: \[ S \approx \frac{63.66^2}{16} + \frac{56.34^2}{4\pi} \approx 256.6 + 248.4 \approx 505 \text{ cm}^2 \] Đáp số: 505 cm². Câu 2: Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = (x - 2) \ln(x - 2) \) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải: 1. Xác định miền xác định của hàm số: \( x > 2 \). 2. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \ln(x - 2) + (x - 2) \cdot \frac{1}{x - 2} = \ln(x - 2) + 1 \] 3. Đặt \( y' = 0 \): \[ \ln(x - 2) + 1 = 0 \] \[ \ln(x - 2) = -1 \] \[ x - 2 = e^{-1} \] \[ x = 2 + \frac{1}{e} \approx 2.37 \] 4. Kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai phía của điểm \( x = 2 + \frac{1}{e} \): - Khi \( x < 2 + \frac{1}{e} \), \( y' < 0 \). - Khi \( x > 2 + \frac{1}{e} \), \( y' > 0 \). Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2 + \frac{1}{e} \). 5. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ y_{min} = \left( 2 + \frac{1}{e} - 2 \right) \ln \left( 2 + \frac{1}{e} - 2 \right) = \frac{1}{e} \ln \left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e} \approx -0.37 \] Đáp số: -0.37.