hiiiiiiiiii

Câu 3. Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta sẽ lần lượt tính các giới hạn liên quan đến các dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$. a) Ta có: \[ u_n = \sqrt{4n^2 + 5n + 1} \] \[ v_n = 2n + 1 \] Tính $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n)$: \[ u_n + v_n = \sqrt{4n^2 + 5n + 1} + 2n + 1 \] Khi $n$ tiến đến vô cùng, ta thấy rằng: \[ \sqrt{4n^2 + 5n + 1} \approx \sqrt{4n^2} = 2n \] Do đó: \[ u_n + v_n \approx 2n + 2n + 1 = 4n + 1 \] Vậy: \[ \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \to +\infty} (4n + 1) = +\infty \] Khẳng định a) sai vì $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) \neq 0$. b) Ta có: \[ v_n = 2n + 1 \] Khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} (2n + 1) = +\infty \] Khẳng định b) sai vì $\lim_{n \to +\infty} v_n \neq -\infty$. c) Ta có: \[ u_n = \sqrt{4n^2 + 5n + 1} \] Khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \sqrt{4n^2 + 5n + 1} \approx \sqrt{4n^2} = 2n \] Vậy: \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{4n^2 + 5n + 1} = +\infty \] Khẳng định c) đúng vì $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. d) Ta có: \[ u_n = \sqrt{4n^2 + 5n + 1} \] \[ v_n = 2n + 1 \] Tính $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n)$: \[ u_n - v_n = \sqrt{4n^2 + 5n + 1} - (2n + 1) \] Nhân lượng liên hợp để dễ dàng tính giới hạn: \[ u_n - v_n = \left( \sqrt{4n^2 + 5n + 1} - (2n + 1) \right) \cdot \frac{\sqrt{4n^2 + 5n + 1} + (2n + 1)}{\sqrt{4n^2 + 5n + 1} + (2n + 1)} \] \[ = \frac{(4n^2 + 5n + 1) - (2n + 1)^2}{\sqrt{4n^2 + 5n + 1} + (2n + 1)} \] \[ = \frac{4n^2 + 5n + 1 - (4n^2 + 4n + 1)}{\sqrt{4n^2 + 5n + 1} + (2n + 1)} \] \[ = \frac{n}{\sqrt{4n^2 + 5n + 1} + (2n + 1)} \] Khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \sqrt{4n^2 + 5n + 1} \approx 2n \] \[ \sqrt{4n^2 + 5n + 1} + (2n + 1) \approx 2n + 2n + 1 = 4n + 1 \] Vậy: \[ \lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{4n + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{4} \] Khẳng định d) đúng vì $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = \frac{1}{4}$. Kết luận: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng.