hskffkaowovoajd

Bài 5. a) $\lim_{x\rightarrow7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$ Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x\rightarrow7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} = \lim_{x\rightarrow7}\frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow7}\frac{(x+2)-9}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} = \lim_{x\rightarrow7}\frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow7}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3} = \frac{1}{\sqrt{7+2}+3} = \frac{1}{6} \] b) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$ Ta nhận thấy rằng $x^3 - 1$ và $x^2 - 1$ đều có thể phân tích thành nhân tử: \[ x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \] \[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-1}{x^2-1} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2 + x + 1}{x+1} \] \[ = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] c) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{2-x}{(1-x)^2}$ Ta nhận thấy rằng $(1-x)^2 = (x-1)^2$, do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{2-x}{(1-x)^2} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{-(x-2)}{(x-1)^2} \] Khi $x \rightarrow 1$, $(x-1)^2 \rightarrow 0$ và $(x-2) \rightarrow -1$. Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{-(x-2)}{(x-1)^2} = \frac{-(-1)}{0^+} = +\infty \] d) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}$ Ta chia cả tử và mẫu cho $|x|$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{x}{|x|} + \frac{2}{|x|}}{\sqrt{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}} \] \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-1 + \frac{2}{|x|}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{-1 + 0}{\sqrt{4 + 0}} = \frac{-1}{2} \] Đáp số: a) $\frac{1}{6}$ b) $\frac{3}{2}$ c) $+\infty$ d) $-\frac{1}{2}$