giai giup voi a

Câu 57. Để xác định đường thẳng AB song song với mặt phẳng nào, ta cần kiểm tra từng mặt phẳng đã cho. A. Mặt phẳng (SAB): - Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (SAB), do đó AB không thể song song với (SAB). B. Mặt phẳng (ABCD): - Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABCD), do đó AB không thể song song với (ABCD). C. Mặt phẳng (SCD): - Ta cần kiểm tra xem AB có song song với (SCD) hay không. - Vì ABCD là hình bình hành, nên AB song song với CD. - Mặt phẳng (SCD) bao gồm đường thẳng CD và điểm S. - Do AB song song với CD và CD nằm trong mặt phẳng (SCD), nên AB song song với mặt phẳng (SCD). D. Mặt phẳng (SAC): - Ta cần kiểm tra xem AB có song song với (SAC) hay không. - Đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng (SAC). - Vì ABCD là hình bình hành, nên AB không song song với AC. - Do đó, AB không song song với mặt phẳng (SAC). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng đường thẳng AB song song với mặt phẳng (SCD). Đáp án đúng là: C. $(SCD)$ Câu 58. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD), ta cần xác định điểm chung giữa hai mặt phẳng này. - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A, C. - Mặt phẳng (SBD) bao gồm các điểm S, B, D. Ta thấy rằng cả hai mặt phẳng đều đi qua đỉnh S. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đường thẳng đi qua điểm S và một điểm khác nằm trên cả hai mặt phẳng. Xét giao điểm của các đường chéo trong đáy ABCD: - Giao điểm của AC và BD là O. Do đó, điểm O thuộc cả hai đường chéo AC và BD, và do đó thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng đi qua điểm S và O, tức là SO. Đáp án đúng là: C. SO (O là giao điểm của AC và BD). Câu 59. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là AB song song với CD và AD song song với BC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA. Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SAD). - Mặt phẳng (MNP) bao gồm các điểm M, N, P. - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A, D. Do M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, ta có MN song song với AD (vì ABCD là hình bình hành và MN là đường trung bình của tam giác ABD). Bây giờ, ta xét giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SAD): - Điểm P nằm trên SA. - Điểm M nằm trên AB. - Điểm N nằm trên CD. Vì MN song song với AD, nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SAD) sẽ là đường thẳng đi qua P và song song với AD. Vậy đáp án đúng là: D. Đường thẳng đi qua P và song song AD. Câu 60. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C', các mặt phẳng song song với nhau sẽ có các đường thẳng tương ứng song song với nhau. Mặt phẳng (ABA') bao gồm các điểm A, B, A' và B'. Ta cần tìm mặt phẳng khác trong các lựa chọn đã cho cũng bao gồm các đường thẳng song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (ABA'). - Mặt phẳng (AA'C') bao gồm các điểm A, A', C' và C. Các đường thẳng AA' và BB' song song với nhau, nhưng các đường thẳng AB và A'C' không song song với nhau. Do đó, mặt phẳng (AA'C') không song song với mặt phẳng (ABA'). - Mặt phẳng (CC'D') bao gồm các điểm C, C', D' và D. Các đường thẳng CC' và AA' song song với nhau, nhưng các đường thẳng CD và C'D' không song song với các đường thẳng AB và A'B'. Do đó, mặt phẳng (CC'D') không song song với mặt phẳng (ABA'). - Mặt phẳng (ADD') bao gồm các điểm A, D, D' và A'. Các đường thẳng AD và A'D' song song với nhau, và các đường thẳng AA' và DD' song song với nhau. Do đó, mặt phẳng (ADD') song song với mặt phẳng (ABA'). - Mặt phẳng (BB'A') bao gồm các điểm B, B', A' và A. Các đường thẳng BB' và AA' song song với nhau, nhưng các đường thẳng BA và B'A' không song song với nhau. Do đó, mặt phẳng (BB'A') không song song với mặt phẳng (ABA'). Vậy mặt phẳng (ABA') song song với mặt phẳng (ADD'). Đáp án đúng là: C. $(ADD')$. Câu 61. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết về giao tuyến của hai mặt phẳng và tính chất của đường thẳng cắt hai mặt phẳng. 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (OMN) đi qua điểm O và đường thẳng MN. - Mặt phẳng (BCD) đi qua ba điểm B, C, D. 2. Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (OMN): - Vì O nằm trong tam giác BCD, nên O thuộc mặt phẳng (BCD). - Đường thẳng MN cắt BD tại E, do đó E cũng thuộc cả hai mặt phẳng (OMN) và (BCD). 3. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD): - Giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua điểm E và điểm O. - Đường thẳng này sẽ cắt CD tại một điểm nào đó. 4. Xác định giao điểm của đường thẳng CD và giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao điểm của đường thẳng CD và giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD) là điểm F, là giao điểm của OE và CD. Do đó, giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (OMN) là điểm F (F là giao điểm của OE và CD). Đáp án đúng là: C. F (F là giao điểm của OE và CD). Câu 62: Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các đường chéo của nó sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta cần xác định đường thẳng chung giữa chúng. - Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A và B. - Mặt phẳng (SCD) bao gồm các điểm S, C và D. Do ABCD là hình bình hành, ta có: - Đường thẳng BD song song với đường thẳng AC. - Đường thẳng AB song song với đường thẳng CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) sẽ là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với đường thẳng BD hoặc AC (vì BD song song với AC). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AC. Đáp án đúng là: C. Đường thẳng qua S và song song với AC. Câu 63: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng trong hình học không gian. Trước tiên, ta xét các giao tuyến của các mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo đường thẳng đi qua đỉnh S và giao điểm của AB và CD, tức là giao điểm F. Do đó, $(SAB) \cap (SCD) = SF$. - Mặt phẳng (SAD) và (SCB) cắt nhau theo đường thẳng đi qua đỉnh S và giao điểm của AD và BC, nhưng vì ABCD là hình lăng trụ không có các cặp cạnh đối song song, nên giao điểm này không phải là F mà là một điểm khác. Do đó, $(SAD) \cap (SCB)$ không phải là SF. - Mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo đường thẳng đi qua đỉnh S và giao điểm của AB và CD, tức là giao điểm F. Do đó, $(SAB) \cap (SCD) = SF$. - Mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt nhau theo đường thẳng đi qua đỉnh S và giao điểm của AD và BC, nhưng vì ABCD là hình lăng trụ không có các cặp cạnh đối song song, nên giao điểm này không phải là F mà là một điểm khác. Do đó, $(SAD) \cap (SBC)$ không phải là SE. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: A. $(SAB) \cap (SCD) = SF$ Đáp án: A. $(SAB) \cap (SCD) = SF$ Bài 1. 1. Giải phương trình $\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{4x}{7}\right)=\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$ Ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{4x}{7}\right) = \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \] Sử dụng tính chất của sin: \[ \frac{\pi}{4} - \frac{4x}{7} = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{\pi}{4} - \frac{4x}{7} = \pi + \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \[ \frac{\pi}{4} - \frac{4x}{7} = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \] \[ \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4x}{7} + k2\pi \] \[ \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{4x}{7} + k2\pi \] \[ \frac{11\pi}{12} = \frac{4x}{7} + k2\pi \] \[ \frac{11\pi}{12} - k2\pi = \frac{4x}{7} \] \[ x = \frac{7}{4}\left(\frac{11\pi}{12} - k2\pi\right) \] \[ x = \frac{77\pi}{48} - \frac{7k\pi}{2} \] - Trường hợp 2: \[ \frac{\pi}{4} - \frac{4x}{7} = \pi + \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] \[ \frac{\pi}{4} - \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4x}{7} + k2\pi \] \[ \frac{-3\pi - 8\pi}{12} = \frac{4x}{7} + k2\pi \] \[ -\frac{11\pi}{12} = \frac{4x}{7} + k2\pi \] \[ -\frac{11\pi}{12} - k2\pi = \frac{4x}{7} \] \[ x = \frac{7}{4}\left(-\frac{11\pi}{12} - k2\pi\right) \] \[ x = -\frac{77\pi}{48} - \frac{7k\pi}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{77\pi}{48} - \frac{7k\pi}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{77\pi}{48} - \frac{7k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Giải phương trình $2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = 0$ Ta có: \[ 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \] \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Sử dụng tính chất của sin: \[ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \[ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \] - Trường hợp 2: \[ 2x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{4\pi - \pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{3\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 3. Giải phương trình $\sin 3x = \sin \frac{\pi}{5}$ Ta có: \[ \sin 3x = \sin \frac{\pi}{5} \] Sử dụng tính chất của sin: \[ 3x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \pi - \frac{\pi}{5} + k2\pi \] Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \[ 3x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3} \] - Trường hợp 2: \[ 3x = \pi - \frac{\pi}{5} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{5\pi - \pi}{5} + k2\pi \] \[ 3x = \frac{4\pi}{5} + k2\pi \] \[ x = \frac{4\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. Giải phương trình $2\cos x - \sqrt{2} = 0$ Ta có: \[ 2\cos x = \sqrt{2} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Sử dụng tính chất của cos: \[ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 5. Giải phương trình $3\tan\left(x + \frac{\pi}{5}\right) - \sqrt{3} = 0$ Ta có: \[ 3\tan\left(x + \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3} \] \[ \tan\left(x + \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Sử dụng tính chất của tan: \[ x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{5} + k\pi \] \[ x = \frac{5\pi - 6\pi}{30} + k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{30} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 6. Giải phương trình $\cos 3x = \cos \frac{\pi}{5}$ Ta có: \[ \cos 3x = \cos \frac{\pi}{5} \] Sử dụng tính chất của cos: \[ 3x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = -\frac{\pi}{5} + k2\pi \] Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \[ 3x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3} \] - Trường hợp 2: \[ 3x = -\frac{\pi}{5} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{15} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bài 2: Để chứng minh rằng $\frac{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}{\sin x + \sin 2x + \sin 3x} = \cot 2x$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức cộng góc cho cos và sin: - $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ - $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ Bước 2: Áp dụng công thức cộng góc cho cos và sin: - $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ - $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ Bước 3: Thay các biểu thức trên vào tử số và mẫu số: Tử số: \[ \cos x + \cos 2x + \cos 3x = \cos x + (2\cos^2 x - 1) + (4\cos^3 x - 3\cos x) \] \[ = 4\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2\cos x - 1 \] Mẫu số: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sin x + (2\sin x \cos x) + (3\sin x - 4\sin^3 x) \] \[ = 4\sin x - 4\sin^3 x + 2\sin x \cos x \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: Tử số: \[ 4\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2\cos x - 1 \] Mẫu số: \[ 4\sin x (1 - \sin^2 x) + 2\sin x \cos x \] \[ = 4\sin x \cos^2 x + 2\sin x \cos x \] \[ = 2\sin x \cos x (2\cos x + 1) \] Bước 5: Chia tử số cho mẫu số: \[ \frac{4\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2\cos x - 1}{2\sin x \cos x (2\cos x + 1)} \] Bước 6: Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}{\sin x + \sin 2x + \sin 3x} = \frac{4\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2\cos x - 1}{2\sin x \cos x (2\cos x + 1)} \] Bước 7: Ta biết rằng: \[ \cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{2\cos^2 x - 1}{2\sin x \cos x} \] Do đó: \[ \frac{4\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2\cos x - 1}{2\sin x \cos x (2\cos x + 1)} = \frac{2\cos^2 x - 1}{2\sin x \cos x} = \cot 2x \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}{\sin x + \sin 2x + \sin 3x} = \cot 2x \] Bài 3. Số ghế ở dãy thứ hai là: 30 + 2 = 32 (ghế) Số ghế ở dãy thứ ba là: 32 + 2 = 34 (ghế) Nhận xét: Số ghế ở mỗi dãy tạo thành dãy số cách đều 2 đơn vị. Số ghế ở dãy thứ 20 là: 30 + (20 - 1) × 2 = 78 (ghế) Tổng số ghế trong sân vận động là: (30 + 78) × 20 : 2 = 1080 (ghế) Đáp số: 1080 ghế Bài 4. a) Ta có \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), do đó \(O\) là trung điểm của \(AC\). Lại có \(M\) là trung điểm của \(SA\), suy ra \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\), vậy \(OM \parallel SC\). Mặt khác, \(OM\) không nằm trong mặt phẳng \((SCD)\) nên \(OM \parallel\) mặt phẳng \((SCD)\). b) Xét mặt phẳng \((BMN)\): - \(B\) thuộc \((BMN)\) - \(MN \parallel SB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(SA\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\)) Do đó, \(SB \parallel MN\), suy ra \(SB \parallel\) mặt phẳng \((BMN)\). Xét giao tuyến của mặt phẳng \((BMN)\) và mặt phẳng \((SCD)\): - \(F\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \((BMN)\) - \(SB \parallel\) mặt phẳng \((BMN)\) Vậy giao tuyến này phải song song với \(SB\). Do đó, \(BF \parallel SB\). Trong tam giác \(SBD\), ta có: - \(BF \parallel SB\) - \(N\) là trung điểm của \(CD\) Theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{SF}{FD} = \frac{BN}{ND} \] Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\), nên \(BN = ND\), suy ra: \[ \frac{SF}{FD} = 1 \] Vậy tỉ số \(\frac{SF}{FD}\) là 1. Đáp số: \(\frac{SF}{FD} = 1\). Câu 5: 1. Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD), mp(SGC) và mp(ABC). - Giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD): - Ta thấy rằng cả hai mặt phẳng SAC và SBD đều đi qua đỉnh S. - Mặt khác, trong hình bình hành ABCD, đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, do đó O cũng nằm trên cả hai mặt phẳng SAC và SBD. - Vậy giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD) là đường thẳng SO. - Giao tuyến của mp(SGC) và mp(ABC): - Ta thấy rằng cả hai mặt phẳng SGC và ABC đều đi qua cạnh BC. - Do đó, giao tuyến của mp(SGC) và mp(ABC) là đường thẳng BC. 2. Tìm giao điểm K của đường thẳng DG và mp(SAC). - Ta thấy rằng đường thẳng DG nằm trong mặt phẳng SABD. - Để tìm giao điểm K của đường thẳng DG và mp(SAC), ta cần xác định vị trí của K trên đường thẳng DG sao cho K thuộc mp(SAC). - Vì G là trọng tâm của tam giác SAB, nên G nằm trên đường trung tuyến từ S đến AB. - Ta cần tìm giao điểm của DG với mp(SAC). Ta thấy rằng đường thẳng DG sẽ cắt mp(SAC) tại một điểm K nào đó trên đường thẳng này. - Để xác định chính xác vị trí của K, ta cần vẽ thêm các đường thẳng và giao điểm tương ứng. Tuy nhiên, vì G là trọng tâm của tam giác SAB, nên K sẽ nằm trên đường thẳng DG và thuộc mp(SAC). Vậy giao điểm K của đường thẳng DG và mp(SAC) là điểm K nằm trên đường thẳng DG và thuộc mp(SAC). Câu 6: a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Do đó, AB // CD. Mặt phẳng (SAB) và (SCD) sẽ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với AB và CD. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SA. b. Tìm giao điểm của đường thẳng QG với mặt phẳng (SAC). Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm Q trên cạnh AD: \[ AQ = \frac{1}{3} AD \] G là trọng tâm của tam giác SAB, do đó G nằm trên đường trung tuyến từ S đến AB và chia đường trung tuyến này thành tỉ lệ 2:1. Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng QG với mặt phẳng (SAC). Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết vấn đề này. Giả sử A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,b,0), S(0,0,c). Q nằm trên AD với tỉ lệ \(\frac{1}{3}\): \[ Q = \left(0, \frac{b}{3}, 0\right) \] G là trọng tâm của tam giác SAB: \[ G = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{c}{3}\right) \] Phương trình đường thẳng QG: \[ \vec{d}_{QG} = \left(\frac{a}{3}, -\frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right) \] \[ QG: \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{a}{3}t \\ y = \frac{b}{3} - \frac{b}{3}t \\ z = \frac{c}{3}t \end{array} \right. \] Mặt phẳng (SAC) có phương trình: \[ z = c \left(1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{b}\right) \] Thay phương trình đường thẳng QG vào phương trình mặt phẳng (SAC): \[ \frac{c}{3}t = c \left(1 - \frac{\frac{a}{3}t}{a} - \frac{\frac{b}{3} - \frac{b}{3}t}{b}\right) \] \[ \frac{c}{3}t = c \left(1 - \frac{t}{3} - \frac{1}{3} + \frac{t}{3}\right) \] \[ \frac{c}{3}t = c \left(\frac{2}{3}\right) \] \[ t = 2 \] Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng QG: \[ x = \frac{2a}{3}, y = 0, z = \frac{2c}{3} \] Vậy giao điểm của đường thẳng QG với mặt phẳng (SAC) là: \[ \left(\frac{2a}{3}, 0, \frac{2c}{3}\right) \] c. Chứng minh KG song song với mặt phẳng (SCD). G là trọng tâm của tam giác SAB, do đó G nằm trên đường trung tuyến từ S đến AB và chia đường trung tuyến này thành tỉ lệ 2:1. K là trọng tâm của tam giác ABD, do đó K nằm trên đường trung tuyến từ A đến BD và chia đường trung tuyến này thành tỉ lệ 2:1. Ta cần chứng minh KG song song với mặt phẳng (SCD). Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết vấn đề này. Giả sử A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,b,0), S(0,0,c). G là trọng tâm của tam giác SAB: \[ G = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{c}{3}\right) \] K là trọng tâm của tam giác ABD: \[ K = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, 0\right) \] Phương trình đường thẳng KG: \[ \vec{d}_{KG} = \left(0, \frac{b}{3}, -\frac{c}{3}\right) \] \[ KG: \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{a}{3} \\ y = \frac{b}{3}t \\ z = \frac{c}{3} - \frac{c}{3}t \end{array} \right. \] Mặt phẳng (SCD) có phương trình: \[ x = 0 \] Thay phương trình đường thẳng KG vào phương trình mặt phẳng (SCD): \[ \frac{a}{3} = 0 \] Điều này cho thấy đường thẳng KG không cắt mặt phẳng (SCD), do đó KG song song với mặt phẳng (SCD). Vậy ta đã chứng minh được KG song song với mặt phẳng (SCD).