giải và vẽ jinhf

5.30. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N. a) Chứng minh rằng $$ b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN. c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN. a) Ta có: - $$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) - $$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Trong tam giác AMP, ta có: $$ Trong tam giác BNP, ta có: $$ Vì $$ (hai góc so le trong), nên: $$ Do đó, tam giác AMP và BNP là tam giác cân, suy ra: $$ $$ Vậy: $$ b) Ta có: - OQ vuông góc với AB, do đó OQ là đường trung trực của AB. - Vì OQ là đường trung trực của AB, nên OQ cũng là đường trung trực của MN (vì MN song song với AB). Do đó, Q là trung điểm của đoạn MN. c) Ta có: - AB là đường kính của (O), do đó AB vuông góc với mọi tiếp tuyến tại các điểm trên (O). - MN là tiếp tuyến của (O) tại P, do đó AB vuông góc với MN. Vậy AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN. 5.31. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó $$ và $$ Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O); b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông. a) Ta có: - MA là tiếp tuyến của (O) tại A, do đó MA vuông góc với OA. b) Ta có: - B và C là các điểm tiếp xúc của (O) và (O') với đường thẳng d, do đó OB vuông góc với d và O'C vuông góc với d. - Vì OB vuông góc với d và O'C vuông góc với d, nên OB song song với O'C. - Vì OB song song với O'C, nên tam giác OBC là tam giác cân tại O. Do đó, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vậy ABC là tam giác vuông tại A.