giải và vẽ jinhf s0. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tạiAA và tiếp tuyến yy'tại B của (O).,Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx'tại MMvà ccttyy' tạiiNN.,a) Chứng minh rằng $MN=MA+NB.$,b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là,trung điểm của đoạn MN.,c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.,5.31. Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với,đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó $B\in(O)$ và $C\in(O).$ Tiếp tuyến của (O),tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:,a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O);,b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.,EM CÓ BIẾT ? (Đọc thêm)

Question

giải và vẽ jinhf s0. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx&#x27; tạiAA và tiếp tuyến yy&#x27;tại B của (O).,Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx&#x27;tại MMvà ccttyy&#x27; tạiiNN.,a) Chứng minh rằng $MN=MA+NB.$,b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là,trung điểm của đoạn MN.,c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.,5.31. Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với,đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó $B\in(O)$ và $C\in(O).$ Tiếp tuyến của (O),tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:,a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O);,b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.,EM CÓ BIẾT ? (Đọc thêm)

Accepted Answer

3.30:

a, Vì MA, MP là các tiếp tuyến của (O) nên MA=MP
Vì NP, NB là các tiếp tuyến của (O) nên NNB
Ta có:
$\displaystyle MN=MP+NP=MA+NB$
b, Vì MA, NB là các tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle MA\bot AB,NB\bot AB$
Ta có: $\displaystyle OQ\bot AB$
$\displaystyle \Longrightarrow MA\parallel NB\parallel OQ$ (từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác AMNB có: $\displaystyle AM\parallel NB$
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác AMNB là hình thang
Mà O là trung điểm của AB, $\displaystyle OQ\parallel AM\parallel NB$
Do đó Q là trung điểm của MN
c, Ta có: $\displaystyle MA=MP,\ OA=OP$
$\displaystyle \Longrightarrow $OM là đường trung trực của AP
$\displaystyle OA=OP\Longrightarrow \vartriangle OAP$ cân tại A
Do đó OM là phân giác của $\displaystyle \widehat{AOP}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AOP} =2\widehat{MOP}$
Ta có: $\displaystyle NP=NB,\ OP=OB$
$\displaystyle \Longrightarrow $ON là đường trung trực của BP
$\displaystyle OB=OP\Longrightarrow \vartriangle OBP$ cân tại O
Do đó ON là phân giác của $\displaystyle \widehat{BOP}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BOP} =2\widehat{NOP}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{AOP} +\widehat{BOP} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow 2\widehat{MOP} +2\widehat{NOP} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MON} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \vartriangle MON$ vuông tại O có: QO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\displaystyle \Longrightarrow QO=\frac{MN}{2}$
Mà $\displaystyle MQ=NQ=\frac{MN}{2}$
Do đó $\displaystyle MQ=NQ=OQ$
$\displaystyle \Longrightarrow $Q là tâm đường tròn đường kính MN
Mà $\displaystyle AB\bot OQ$
Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN