Cho tam giác ABC cân tại A ( a < 90 độ) kẻ BH vuông góc với AC tại H và CK vuông góc với AB tại K biết BH và CKcắt nhau tại I .a)Chứng minh rằng tam giác ABH bằng tam giác ACK. b) Chứng minh rằng IB bằ...

a) Chứng minh tam giác ABH bằng tam giác ACK: - Ta có góc AHB = góc AKC = 90 độ (vì BH và CK là đường cao hạ từ B và C xuống AC và AB). - Góc BAH = góc CAK (vì tam giác ABC cân tại A nên hai góc ở đáy bằng nhau). - AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A). Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (góc, cạnh kề, góc), ta có tam giác ABH bằng tam giác ACK. b) Chứng minh IB = IC: - Từ phần a), ta đã chứng minh tam giác ABH bằng tam giác ACK. - Do đó, BH = CK (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau). - Góc BHC = góc CHB (vì tam giác BHC cân tại H do BH = CK). - Góc BIC = góc CIB (vì tam giác BIC cân tại I do góc BHC = góc CHB). Do đó, IB = IC (hai cạnh tương ứng của tam giác cân). c) Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng: - Ta có M là trung điểm của BC, do đó BM = MC. - Gọi D là chân đường cao hạ từ A xuống BC, ta có AD vuông góc với BC. - Vì tam giác ABC cân tại A, nên AD cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của góc BAC. - Do đó, D cũng là trung điểm của BC, tức là D trùng với M. - Ta có góc BAI = góc CAI (vì AD là đường phân giác của góc BAC). - Góc BAI = góc CAI và góc BAI = góc CAI (vì tam giác ABH bằng tam giác ACK). - Do đó, tam giác ABI bằng tam giác ACI (theo trường hợp bằng nhau thứ hai: góc, cạnh kề, góc). - Từ đó, BI = CI (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau). - Vì BI = CI và tam giác BIC cân tại I, nên đường thẳng AI đi qua đỉnh I của tam giác cân BIC và cắt BC tại M (trung điểm của BC). Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.