giảiiiiibzbzbz

Câu 1: Để chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các công thức lượng giác cơ bản. A. $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha \] Mệnh đề này đúng. B. $\sin(\pi + \alpha) = \sin\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \] Mệnh đề này sai. C. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha \] Mệnh đề này sai. D. $\tan(\pi + 2\alpha) = \cot(2\alpha)$ Theo công thức lượng giác: \[ \tan(\pi + 2\alpha) = \tan(2\alpha) \] \[ \cot(2\alpha) = \frac{1}{\tan(2\alpha)} \] Mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề đúng là: A. $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$ Đáp án: A. Câu 2: Dãy số đã cho là: 1; 2; 3; 4,..., n;... Ta thấy rằng mỗi số hạng tiếp theo trong dãy số này đều lớn hơn số hạng trước đó. Cụ thể: - Số hạng thứ hai (2) lớn hơn số hạng thứ nhất (1). - Số hạng thứ ba (3) lớn hơn số hạng thứ hai (2). - Số hạng thứ tư (4) lớn hơn số hạng thứ ba (3). Và như vậy, ta có thể thấy rằng mọi số hạng tiếp theo đều lớn hơn số hạng trước đó. Do đó, dãy số này là dãy số tăng. Vậy khẳng định đúng là: A. Dãy số đã cho là dãy số tăng. Câu 7. Để xác định hàm số \( f(x) \) có liên tục trên các khoảng hoặc điểm nào, ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số tại các điểm và khoảng đã cho. A. Hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). - Ta thấy rằng đồ thị hàm số \( f(x) \) có các điểm gián đoạn tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Do đó, hàm số không liên tục trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Khẳng định này sai. B. Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \). - Tại điểm \( x = 1 \), ta thấy rằng hàm số có một "lỗ" trên đồ thị, tức là hàm số không xác định tại điểm này. Do đó, hàm số không liên tục tại \( x = 1 \). Khẳng định này sai. C. Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = -1 \). - Tại điểm \( x = -1 \), ta thấy rằng hàm số có một "điểm nhảy", tức là giới hạn từ bên trái và bên phải không bằng nhau hoặc không tồn tại. Do đó, hàm số không liên tục tại \( x = -1 \). Khẳng định này sai. D. Hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( (-3;1) \). - Trên khoảng \( (-3;1) \), ta thấy rằng đồ thị hàm số \( f(x) \) không có bất kỳ điểm gián đoạn nào. Do đó, hàm số liên tục trên khoảng \( (-3;1) \). Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. Hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( (-3;1) \). Câu 10. Để tính $u_n$ của cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và $u_2 = -1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công sai $d$ của cấp số cộng: \[ d = u_2 - u_1 = -1 - 1 = -2 \] Bước 2: Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng để tìm $u_n$: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = 1 + (n-1)(-2) \] \[ u_n = 1 - 2(n-1) \] \[ u_n = 1 - 2n + 2 \] \[ u_n = 3 - 2n \] Vậy đáp án đúng là: D. $u_n = -2n + 3$. Câu 11. Để tìm công bội của cấp số nhân $(u_n)$, ta sử dụng công thức: \[ q = \frac{u_2}{u_1} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ q = \frac{12}{3} = 4 \] Bây giờ, ta biết rằng công bội của cấp số nhân là 4. Công thức tổng quát của một cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Thay $u_1 = 3$ và $q = 4$ vào công thức trên: \[ u_n = 3 \cdot 4^{n-1} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ u_n = 3 \cdot 4^{n-1} \] Vậy đáp án đúng là: B. $u_n = 3 \cdot 4^{n-1}$. Câu 3: Để xác định dãy số nào không phải là cấp số cộng, ta cần kiểm tra xem mỗi dãy số có các số hạng liên tiếp có cùng một khoảng cách (số hạng sau trừ số hạng trước) hay không. A. $-\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 1; ...$ - Kiểm tra khoảng cách giữa các số hạng: $-\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$ $0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ Các số hạng liên tiếp đều có khoảng cách là $\frac{1}{3}$, nên dãy này là cấp số cộng. B. $15; 12; 9; 6; ...$ - Kiểm tra khoảng cách giữa các số hạng: $12 - 15 = -3$ $9 - 12 = -3$ $6 - 9 = -3$ Các số hạng liên tiếp đều có khoảng cách là $-3$, nên dãy này là cấp số cộng. C. $\frac{4}{5}; 1; \frac{7}{5}; \frac{9}{5}; \frac{11}{5}; ...$ - Kiểm tra khoảng cách giữa các số hạng: $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ $\frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$ $\frac{9}{5} - \frac{7}{5} = \frac{2}{5}$ $\frac{11}{5} - \frac{9}{5} = \frac{2}{5}$ Các số hạng liên tiếp đều có khoảng cách là $\frac{2}{5}$, nên dãy này là cấp số cộng. D. $\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; 4\sqrt{3}; ...$ - Kiểm tra khoảng cách giữa các số hạng: $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ $3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ Các số hạng liên tiếp đều có khoảng cách là $\sqrt{3}$, nên dãy này là cấp số cộng. Tất cả các dãy số trên đều là cấp số cộng. Do đó, không có dãy số nào trong các lựa chọn trên không phải là cấp số cộng. Đáp án: Không có dãy số nào không phải là cấp số cộng. Câu 3. Để xác định xem một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem thương giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. 1; 2; 3; 4; 5; ... - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{3}{2} = 1.5$, $\frac{4}{3} \approx 1.33$, $\frac{5}{4} = 1.25$ - Các thương không bằng nhau, do đó dãy này không phải là cấp số nhân. B. 2; 4; 6; 8; 16; 32; ... - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{6}{4} = 1.5$, $\frac{8}{6} \approx 1.33$, $\frac{16}{8} = 2$, $\frac{32}{16} = 2$ - Các thương không bằng nhau, do đó dãy này không phải là cấp số nhân. C. -2; -3; -4; -5; -6; ... - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{-3}{-2} = 1.5$, $\frac{-4}{-3} \approx 1.33$, $\frac{-5}{-4} = 1.25$, $\frac{-6}{-5} = 1.2$ - Các thương không bằng nhau, do đó dãy này không phải là cấp số nhân. D. 1; 2; 4; 8; 16; 32; ... - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{8}{4} = 2$, $\frac{16}{8} = 2$, $\frac{32}{16} = 2$ - Các thương đều bằng nhau (bằng 2), do đó dãy này là cấp số nhân. Vậy dãy số là cấp số nhân là: D. 1; 2; 4; 8; 16; 32; ... Đáp án: D. Câu 5: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3x-2}{1+x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3x-2}{1+x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{3x-2}{x}}{\frac{1+x}{x}} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} + 1} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng phần tử trong phân thức: - Khi $x \rightarrow -\infty$, $\frac{2}{x} \rightarrow 0$ - Khi $x \rightarrow -\infty$, $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{3 - 0}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \] Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng khi $x \rightarrow -\infty$, biểu thức $\frac{3x-2}{1+x}$ sẽ tiến đến giá trị âm vô cùng vì cả tử số và mẫu số đều tiến đến âm vô cùng nhưng tỷ lệ giữa chúng vẫn giữ nguyên. Vậy giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3x-2}{1+x}$ là $-\infty$. Đáp án đúng là: C. $-\infty$. Câu 4. Phương trình $\cos 2x = \frac{1}{2}$ có thể được giải như sau: Bước 1: Xác định các giá trị của $2x$ sao cho $\cos 2x = \frac{1}{2}$. Ta biết rằng $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ và $\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Bước 2: Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, ta có: \[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z}) \] Bước 3: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 để tìm giá trị của $x$: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z}) \] Vậy nghiệm của phương trình $\cos 2x = \frac{1}{2}$ là: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z}) \] Do đó, đáp án đúng là: A. $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$