cho các số thực xy thay đổi thõa mãn xy+x+y=7 tính gtnn của biểu thức m=x^2+3y^2+4x-12y

Để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = x^2 + 3y^2 + 4x - 12y \) với điều kiện \( xy + x + y = 7 \), ta làm như sau: Bước 1: Xác định điều kiện của \( x \) và \( y \): \[ xy + x + y = 7 \] Bước 2: Ta sẽ biến đổi biểu thức \( M \) để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất: \[ M = x^2 + 3y^2 + 4x - 12y \] Bước 3: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ M = (x^2 + 4x) + 3(y^2 - 4y) \] Bước 4: Ta hoàn chỉnh bình phương cho các nhóm này: \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] \[ 3(y^2 - 4y) = 3((y - 2)^2 - 4) = 3(y - 2)^2 - 12 \] Bước 5: Thay vào biểu thức \( M \): \[ M = (x + 2)^2 - 4 + 3(y - 2)^2 - 12 \] \[ M = (x + 2)^2 + 3(y - 2)^2 - 16 \] Bước 6: Ta thấy rằng \((x + 2)^2\) và \(3(y - 2)^2\) đều là các bình phương nên luôn không âm. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) xảy ra khi \((x + 2)^2 = 0\) và \(3(y - 2)^2 = 0\), tức là: \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \] \[ y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \] Bước 7: Kiểm tra điều kiện \( xy + x + y = 7 \): \[ (-2)(2) + (-2) + 2 = -4 - 2 + 2 = -4 \neq 7 \] Do đó, ta cần tìm lại giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho thỏa mãn điều kiện ban đầu. Ta thử lại với các giá trị khác: \[ x = 1, y = 3 \Rightarrow xy + x + y = 1 \cdot 3 + 1 + 3 = 7 \] Bước 8: Thay \( x = 1 \) và \( y = 3 \) vào biểu thức \( M \): \[ M = 1^2 + 3(3^2) + 4(1) - 12(3) \] \[ M = 1 + 27 + 4 - 36 \] \[ M = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là 2, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 3 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là 2, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 3 \).