ghctxhb hin jj

Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân đã cho thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^1_0 [f(x) + 2x] \, dx = 2 \] Áp dụng tính chất của tích phân, ta có thể tách tích phân này thành tổng của hai tích phân: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + \int^1_0 2x \, dx = 2 \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng phần tích phân này. 1. Tính \(\int^1_0 2x \, dx\): \[ \int^1_0 2x \, dx = 2 \int^1_0 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \] 2. Thay kết quả này vào phương trình ban đầu: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + 1 = 2 \] 3. Giải phương trình này để tìm \(\int^1_0 f(x) \, dx\): \[ \int^1_0 f(x) \, dx = 2 - 1 = 1 \] Vậy, \(\int^1_0 f(x) \, dx\) bằng 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 13. Để tính $\int^3_2[f(x)+g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_2[f(x)+g(x)]dx = \int^3_2 f(x) dx + \int^3_2 g(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^3_2 f(x) dx = 3 \] \[ \int^2_2 g(x) dx = 1 \] Tuy nhiên, để tính $\int^3_2 g(x) dx$, ta cần biết thêm thông tin về hàm $g(x)$ trên đoạn từ 2 đến 3. Nếu không có thêm thông tin, ta giả sử rằng $\int^3_2 g(x) dx$ cũng bằng 1 (vì không có thông tin khác). Do đó: \[ \int^3_2[f(x)+g(x)]dx = 3 + 1 = 4 \] Vậy đáp án đúng là: A. 4. Câu 14. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân đã cho thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^1_0 [f(x) + 2x] \, dx = 3 \] Áp dụng tính chất của tích phân, ta có thể tách tích phân này thành tổng của hai tích phân: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + \int^1_0 2x \, dx = 3 \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng phần tích phân này. 1. Tính \(\int^1_0 2x \, dx\): \[ \int^1_0 2x \, dx = 2 \int^1_0 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \] 2. Thay kết quả này vào phương trình ban đầu: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + 1 = 3 \] 3. Giải phương trình này để tìm \(\int^1_0 f(x) \, dx\): \[ \int^1_0 f(x) \, dx = 3 - 1 = 2 \] Vậy, \(\int^1_0 f(x) \, dx\) bằng 2. Đáp án đúng là: D. 2. Câu 15. Để tính $\int^2_1[f(x)-g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_1[f(x)-g(x)]dx = \int^2_1 f(x) dx - \int^2_1 g(x) dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^2_1 f(x) dx = 3 \] \[ \int^2_1 g(x) dx = 2 \] Thay các giá trị này vào công thức trên, ta có: \[ \int^2_1[f(x)-g(x)]dx = 3 - 2 = 1 \] Vậy đáp án đúng là: B. 1. Câu 16. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân đã cho thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^1_0 [f(x) + 2x] \, dx = 4 \] Áp dụng tính chất của tích phân, ta có thể tách tích phân này thành tổng của hai tích phân: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + \int^1_0 2x \, dx = 4 \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng phần tích phân này. 1. Tính \(\int^1_0 2x \, dx\): \[ \int^1_0 2x \, dx = 2 \int^1_0 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \] 2. Thay kết quả này vào phương trình ban đầu: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + 1 = 4 \] 3. Giải phương trình này để tìm \(\int^1_0 f(x) \, dx\): \[ \int^1_0 f(x) \, dx = 4 - 1 = 3 \] Vậy, \(\int^1_0 f(x) \, dx\) bằng 3. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 17. Ta có: \[ \int^2_1 [f(x) + g(x)] \, dx = \int^2_1 f(x) \, dx + \int^2_1 g(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 2 \] và \[ \int^2_1 g(x) \, dx = 3 \] Do đó: \[ \int^2_1 [f(x) + g(x)] \, dx = 2 + 3 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: B. 5. Câu 18. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân đã cho thành hai phần riêng biệt. Bước 1: Áp dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân đã cho: \[ \int^1_0 [f(x) + 2x] \, dx = \int^1_0 f(x) \, dx + \int^1_0 2x \, dx \] Bước 2: Tính tích phân của \(2x\) từ 0 đến 1: \[ \int^1_0 2x \, dx = 2 \int^1_0 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Bước 3: Thay kết quả vừa tính vào phương trình ban đầu: \[ \int^1_0 [f(x) + 2x] \, dx = \int^1_0 f(x) \, dx + 1 \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^1_0 [f(x) + 2x] \, dx = 5 \] Do đó: \[ \int^1_0 f(x) \, dx + 1 = 5 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm \(\int^1_0 f(x) \, dx\): \[ \int^1_0 f(x) \, dx = 5 - 1 = 4 \] Vậy đáp án đúng là: D. 4. Câu 19. Để tính $\int^2_1[f(x)-g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_1[f(x)-g(x)]dx = \int^2_1f(x)dx - \int^2_1g(x)dx \] Biết rằng: \[ \int^2_1f(x)dx = 2 \] \[ \int^2_1g(x)dx = 6 \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ \int^2_1[f(x)-g(x)]dx = 2 - 6 = -4 \] Vậy đáp án đúng là B. -4. Câu 20. Để tính tích phân $\int^1_0 [f(x) + g(x)] \, dx$, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Theo tính chất này, tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số. Ta có: \[ \int^1_0 [f(x) + g(x)] \, dx = \int^1_0 f(x) \, dx + \int^1_0 g(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^1_0 f(x) \, dx = 3 \] và \[ \int^1_0 g(x) \, dx = -4 \] Do đó, ta thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^1_0 [f(x) + g(x)] \, dx = 3 + (-4) = 3 - 4 = -1 \] Vậy đáp án đúng là: C. -1. Câu 21. Để tính $\int^1_0[f(x)+g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^1_0[f(x)+g(x)]dx = \int^1_0f(x)dx + \int^1_0g(x)dx \] Biết rằng: \[ \int^1_0f(x)dx = 2 \] \[ \int^1_0g(x)dx = -4 \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ \int^1_0[f(x)+g(x)]dx = 2 + (-4) = -2 \] Vậy đáp án đúng là: C. -2. Câu 22. Để tính $\int^1_0 [f(x) - g(x)] dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^1_0 [f(x) - g(x)] dx = \int^1_0 f(x) dx - \int^1_0 g(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^1_0 f(x) dx = -2 \] \[ \int^1_0 g(x) dx = 3 \] Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^1_0 [f(x) - g(x)] dx = (-2) - 3 = -5 \] Vậy đáp án đúng là: C. -5. Câu 23. Để tính $\int^1_0[f(x)-2g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ \int^1_0[f(x)-2g(x)]dx = \int^1_0 f(x) dx - 2 \int^1_0 g(x) dx \] Ta đã biết từ đề bài rằng: \[ \int^1_0 f(x) dx = 2 \] \[ \int^1_0 g(x) dx = 5 \] Thay các giá trị này vào biểu thức trên: \[ \int^1_0[f(x)-2g(x)]dx = 2 - 2 \cdot 5 = 2 - 10 = -8 \] Vậy đáp án đúng là: A. -8 Câu 24. Để xác định khẳng định nào đúng với mọi hàm \( f \) và \( g \) liên tục trên \( K \) và \( a, b \) là các số bất kỳ thuộc \( K \), chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Giả sử chúng ta có các khẳng định sau: 1. \( \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx \) 2. \( \int_{a}^{b} [f(x) \cdot g(x)] \, dx = \left( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right) \cdot \left( \int_{a}^{b} g(x) \, dx \right) \) 3. \( \int_{a}^{b} f(g(x)) \, dx = f \left( \int_{a}^{b} g(x) \, dx \right) \) Chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định này: 1. Khẳng định 1: \( \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx \) Đây là tính chất tuyến tính của tích phân. Tính chất này đúng với mọi hàm \( f \) và \( g \) liên tục trên \( K \). Do đó, khẳng định này đúng. 2. Khẳng định 2: \( \int_{a}^{b} [f(x) \cdot g(x)] \, dx = \left( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right) \cdot \left( \int_{a}^{b} g(x) \, dx \right) \) Tính chất này không đúng với mọi hàm \( f \) và \( g \) liên tục trên \( K \). Việc nhân hai tích phân riêng lẻ không tương đương với tích phân của tích hai hàm. Do đó, khẳng định này sai. 3. Khẳng định 3: \( \int_{a}^{b} f(g(x)) \, dx = f \left( \int_{a}^{b} g(x) \, dx \right) \) Tính chất này cũng không đúng với mọi hàm \( f \) và \( g \) liên tục trên \( K \). Việc thay \( g(x) \) vào \( f \) trước khi tích phân không tương đương với tích phân của \( f(g(x)) \). Do đó, khẳng định này sai. Tóm lại, khẳng định duy nhất đúng là khẳng định thứ nhất. Đáp án: Khẳng định đúng là \( \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx \).