Hộ tớ cái. C Câu 4. Tìm các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=x^3+(m-1)x^2+3x-2$ không có cực trị.

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để hàm số $y = x^3 + (m-1)x^2 + 3x - 2$ không có cực trị, ta cần tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số không đổi dấu.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + (m-1)x^2 + 3x - 2) = 3x^2 + 2(m-1)x + 3 $$

Bước 2: Để hàm số không có cực trị, đạo hàm $y'$ phải không đổi dấu, tức là phương trình $y' = 0$ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép.

Phương trình $y' = 0$ là:
$$ 3x^2 + 2(m-1)x + 3 = 0 $$

Bước 3: Xét phương trình bậc hai $3x^2 + 2(m-1)x + 3 = 0$. Để phương trình này không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép, ta cần tính delta ($\Delta$):
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
Trong đó, $a = 3$, $b = 2(m-1)$, $c = 3$.

Thay vào công thức:
$$ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 $$
$$ \Delta = 4(m-1)^2 - 36 $$
$$ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 36 $$
$$ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 36 $$
$$ \Delta = 4m^2 - 8m - 32 $$

Bước 4: Để phương trình không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép, ta cần $\Delta \leq 0$:
$$ 4m^2 - 8m - 32 \leq 0 $$
$$ m^2 - 2m - 8 \leq 0 $$

Bước 5: Giải bất phương trình $m^2 - 2m - 8 \leq 0$:
Ta tìm nghiệm của phương trình $m^2 - 2m - 8 = 0$:
$$ m^2 - 2m - 8 = 0 $$
$$ (m - 4)(m + 2) = 0 $$
$$ m = 4 \text{ hoặc } m = -2 $$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $m^2 - 2m - 8 \leq 0$ là:
$$ -2 \leq m \leq 4 $$

Bước 6: Vì yêu cầu là giá trị nguyên của $m$, ta xét các giá trị nguyên trong khoảng $[-2, 4]$:
$$ m = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 $$

Vậy các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + (m-1)x^2 + 3x - 2$ không có cực trị là:
$$ m = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 $$