giúp e bài này theo hướng dẫn ạ e đánh giá 5 sao ạ

rotate image
thumb up 0
thumb down
Trả lời câu hỏi của nhhsgch

Làm sao để có câu trả lời hay nhất?

  • Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
  • Không copy câu trả lời của Timi
  • Không sao chép trên mạng
  • Không spam câu trả lời để nhận điểm
  • Spam sẽ bị khóa tài khoản
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

05/01/2025

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Bài 16: Để chứng minh rằng \(a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0\) với \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét từng thành phần của biểu thức. - Ta xét \(a(b-c)^2 - a^3\): \[ a(b-c)^2 - a^3 = a[(b-c)^2 - a^2] = a[(b-c-a)(b-c+a)] \] Bước 2: Vì \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \[ b + c > a \] \[ a + c > b \] \[ a + b > c \] Do đó, \(b - c - a < 0\) và \(b - c + a > 0\). Vậy: \[ a[(b-c-a)(b-c+a)] < 0 \] Bước 3: Chứng minh tương tự cho các thành phần còn lại: - Ta xét \(b(c-a)^2 - b^3\): \[ b(c-a)^2 - b^3 = b[(c-a)^2 - b^2] = b[(c-a-b)(c-a+b)] \] Theo bất đẳng thức tam giác: \[ c + a > b \] \[ c - a - b < 0 \] \[ c - a + b > 0 \] Vậy: \[ b[(c-a-b)(c-a+b)] < 0 \] - Ta xét \(c(a-b)^2 - c^3\): \[ c(a-b)^2 - c^3 = c[(a-b)^2 - c^2] = c[(a-b-c)(a-b+c)] \] Theo bất đẳng thức tam giác: \[ a + b > c \] \[ a - b - c < 0 \] \[ a - b + c > 0 \] Vậy: \[ c[(a-b-c)(a-b+c)] < 0 \] Bước 4: Tổng hợp các kết quả: \[ a(b-c)^2 - a^3 < 0 \] \[ b(c-a)^2 - b^3 < 0 \] \[ c(a-b)^2 - c^3 < 0 \] Tổng của ba số âm là một số âm, do đó: \[ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < a^3 + b^3 + c^3 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0 \] Đáp số: \(a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0\) Bài 17: Để chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\) khi \(a + b + c = 1\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \(a, b, c\) và ba số \(1, 1, 1\): \[ (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2 \] Bước 2: Thay các giá trị vào bất đẳng thức: \[ (a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2 \] Bước 3: Biến đổi và thay \(a + b + c = 1\): \[ (a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3 \geq 1^2 \] \[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq 1 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 3: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3} \] Vậy ta đã chứng minh được \(a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\) khi \(a + b + c = 1\).
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
1.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
nhihoang-uyen

05/01/2025

Bài 16:
Để chứng minh rằng \(a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0\) với \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét từng thành phần của biểu thức.
- Ta xét \(a(b-c)^2 - a^3\):
\[ a(b-c)^2 - a^3 = a[(b-c)^2 - a^2] = a[(b-c-a)(b-c+a)] \]

Bước 2: Vì \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\[ b + c > a \]
\[ a + c > b \]
\[ a + b > c \]

Do đó, \(b - c - a < 0\) và \(b - c + a > 0\). Vậy:
\[ a[(b-c-a)(b-c+a)] < 0 \]

Bước 3: Chứng minh tương tự cho các thành phần còn lại:
- Ta xét \(b(c-a)^2 - b^3\):
\[ b(c-a)^2 - b^3 = b[(c-a)^2 - b^2] = b[(c-a-b)(c-a+b)] \]

Theo bất đẳng thức tam giác:
\[ c + a > b \]
\[ c - a - b < 0 \]
\[ c - a + b > 0 \]

Vậy:
\[ b[(c-a-b)(c-a+b)] < 0 \]

- Ta xét \(c(a-b)^2 - c^3\):
\[ c(a-b)^2 - c^3 = c[(a-b)^2 - c^2] = c[(a-b-c)(a-b+c)] \]

Theo bất đẳng thức tam giác:
\[ a + b > c \]
\[ a - b - c < 0 \]
\[ a - b + c > 0 \]

Vậy:
\[ c[(a-b-c)(a-b+c)] < 0 \]

Bước 4: Tổng hợp các kết quả:
\[ a(b-c)^2 - a^3 < 0 \]
\[ b(c-a)^2 - b^3 < 0 \]
\[ c(a-b)^2 - c^3 < 0 \]

Tổng của ba số âm là một số âm, do đó:
\[ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < a^3 + b^3 + c^3 \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0 \]

Đáp số: \(a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0\)

Bài 17:
Để chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\) khi \(a + b + c = 1\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \(a, b, c\) và ba số \(1, 1, 1\):

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2
\]

Bước 2: Thay các giá trị vào bất đẳng thức:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]

Bước 3: Biến đổi và thay \(a + b + c = 1\):

\[
(a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3 \geq 1^2
\]

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq 1
\]

Bước 4: Chia cả hai vế cho 3:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}
\]

Vậy ta đã chứng minh được \(a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\) khi \(a + b + c = 1\).

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
Hồng Trangg

05/01/2025

nhhsgch chịu

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
1.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved