Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
05/01/2025
05/01/2025
Bài 16:
Để chứng minh rằng \(a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0\) với \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xét từng thành phần của biểu thức.
- Ta xét \(a(b-c)^2 - a^3\):
\[ a(b-c)^2 - a^3 = a[(b-c)^2 - a^2] = a[(b-c-a)(b-c+a)] \]
Bước 2: Vì \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\[ b + c > a \]
\[ a + c > b \]
\[ a + b > c \]
Do đó, \(b - c - a < 0\) và \(b - c + a > 0\). Vậy:
\[ a[(b-c-a)(b-c+a)] < 0 \]
Bước 3: Chứng minh tương tự cho các thành phần còn lại:
- Ta xét \(b(c-a)^2 - b^3\):
\[ b(c-a)^2 - b^3 = b[(c-a)^2 - b^2] = b[(c-a-b)(c-a+b)] \]
Theo bất đẳng thức tam giác:
\[ c + a > b \]
\[ c - a - b < 0 \]
\[ c - a + b > 0 \]
Vậy:
\[ b[(c-a-b)(c-a+b)] < 0 \]
- Ta xét \(c(a-b)^2 - c^3\):
\[ c(a-b)^2 - c^3 = c[(a-b)^2 - c^2] = c[(a-b-c)(a-b+c)] \]
Theo bất đẳng thức tam giác:
\[ a + b > c \]
\[ a - b - c < 0 \]
\[ a - b + c > 0 \]
Vậy:
\[ c[(a-b-c)(a-b+c)] < 0 \]
Bước 4: Tổng hợp các kết quả:
\[ a(b-c)^2 - a^3 < 0 \]
\[ b(c-a)^2 - b^3 < 0 \]
\[ c(a-b)^2 - c^3 < 0 \]
Tổng của ba số âm là một số âm, do đó:
\[ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < a^3 + b^3 + c^3 \]
Vậy ta đã chứng minh được:
\[ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0 \]
Đáp số: \(a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 < 0\)
Bài 17:
Để chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\) khi \(a + b + c = 1\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \(a, b, c\) và ba số \(1, 1, 1\):
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2
\]
Bước 2: Thay các giá trị vào bất đẳng thức:
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]
Bước 3: Biến đổi và thay \(a + b + c = 1\):
\[
(a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3 \geq 1^2
\]
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq 1
\]
Bước 4: Chia cả hai vế cho 3:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}
\]
Vậy ta đã chứng minh được \(a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\) khi \(a + b + c = 1\).
05/01/2025
nhhsgch chịu
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
8 phút trước
10 phút trước
15 phút trước
1 giờ trước
Top thành viên trả lời