Giải giúp em với ạ

Câu 30. Điểm $A_1$ là hình chiếu của điểm $A(3;5;2)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$, do đó tọa độ của $A_1$ là $A_1(3;5;0)$. Điểm $A_2$ là hình chiếu của điểm $A(3;5;2)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$, do đó tọa độ của $A_2$ là $A_2(0;5;2)$. Điểm $A_3$ là hình chiếu của điểm $A(3;5;2)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$, do đó tọa độ của $A_3$ là $A_3(3;0;2)$. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A_1(3;5;0)$, $A_2(0;5;2)$ và $A_3(3;0;2)$ có dạng: \[ \begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \] Ta tính định thức này: \[ \begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} 5 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] Tính từng định thức nhỏ: \[ \begin{vmatrix} 5 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 5(2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 0 + 1(5 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 10 \] \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 3(2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 0 + 1(0 \cdot 2 - 3 \cdot 2) = -6 \] \[ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 3(5 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 5(0 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 1(0 \cdot 0 - 3 \cdot 5) = 15 + 15 - 15 = 15 \] \[ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 3(5 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - 5(0 \cdot 2 - 3 \cdot 2) + 0 = 30 + 30 = 60 \] Do đó phương trình mặt phẳng là: \[ 10x - (-6)y + 15z - 60 = 0 \Rightarrow 10x + 6y + 15z - 60 = 0 \] Vậy phương án đúng là B. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A_1, A_2, A_3$ là $10x + 6y + 15z - 60 = 0$. Câu 31. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. A. Kiểm tra $\overrightarrow{AB} = (-6; 2; 2)$ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của B trừ tọa độ của A: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 4; 2 - 0; 3 - 1) = (-6; 2; 2) \] Mệnh đề A đúng. B. Kiểm tra trung điểm I của đoạn thẳng AB Trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của A và B: \[ I = \left( \frac{4 + (-2)}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}; \frac{2}{2}; \frac{4}{2} \right) = (1; 1; 2) \] Mệnh đề B đúng. C. Kiểm tra phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ (x - x_I) \cdot a + (y - y_I) \cdot b + (z - z_I) \cdot c = 0 \] Trong đó, $(a, b, c)$ là các thành phần của $\overrightarrow{AB}$ và $(x_I, y_I, z_I)$ là tọa độ của trung điểm I. Thay vào: \[ (x - 1) \cdot (-6) + (y - 1) \cdot 2 + (z - 2) \cdot 2 = 0 \] \[ -6x + 6 + 2y - 2 + 2z - 4 = 0 \] \[ -6x + 2y + 2z = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ -3x + y + z = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để dễ nhìn: \[ 3x - y - z = 0 \] Mệnh đề D đúng, mệnh đề C sai. Kết luận - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B đúng. - Mệnh đề C sai. - Mệnh đề D đúng. Đáp án: Mệnh đề C sai. Câu 32. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1; 0 - 2; 1 + 1) = (-2; -2; 2)$ Mệnh đề A sai vì $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 2)$, không phải $(1; 1; -1)$. Mệnh đề B: Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x + 2y - z + 1 = 0$. Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1, 2, -1)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $B$, và vuông góc với $(P)$, tức là vectơ pháp tuyến của $(Q)$ phải vuông góc với $\vec{n}_P$. Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của $(Q)$. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2, -2, 2)$. Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của $(Q)$, $\vec{n}_Q$, sao cho $\vec{n}_Q \cdot \vec{n}_P = 0$ và $\vec{n}_Q \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Giả sử $\vec{n}_Q = (a, b, c)$, ta có: \[ a + 2b - c = 0 \] \[ -2a - 2b + 2c = 0 \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ -2a - 2b + 2c = 0 \Rightarrow a + b - c = 0 \] Giải hệ phương trình: \[ a + 2b - c = 0 \] \[ a + b - c = 0 \] Trừ hai phương trình: \[ (a + 2b - c) - (a + b - c) = 0 \Rightarrow b = 0 \] Thay $b = 0$ vào $a + b - c = 0$: \[ a - c = 0 \Rightarrow a = c \] Chọn $a = 1$, ta có $c = 1$. Vậy $\vec{n}_Q = (1, 0, 1)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua điểm $A(1, 2, -1)$ với vectơ pháp tuyến $(1, 0, 1)$ là: \[ 1(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z + 1) = 0 \] \[ x - 1 + z + 1 = 0 \] \[ x + z = 0 \] Mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: Khoảng cách từ điểm $A(1, 2, -1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là: \[ d(A, (P)) = \frac{|1 + 2 \cdot 2 - (-1) + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{6} \] Mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $B$, và vuông góc với $(P)$ đã được tìm ở mệnh đề B là $x + z = 0$. Mệnh đề D sai vì phương trình đúng là $x + z = 0$, không phải $3x - y + z = 0$. Kết luận: - Mệnh đề A sai. - Mệnh đề B đúng. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai. Câu 33. Để viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; -1; 4)$ đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a} = (1; -1; 2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến: Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ chính là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} = (1; -1; 2)$. 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] Trong đó, $(A, B, C)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -1, 2)$. Do đó, ta có: \[ 1x - 1y + 2z + D = 0 \] 3. Tìm tham số $D$: Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; -1; 4)$. Thay tọa độ của điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng để tìm $D$: \[ 1 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 + D = 0 \] \[ 3 + 1 + 8 + D = 0 \] \[ 12 + D = 0 \] \[ D = -12 \] 4. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng: Thay $D = -12$ vào phương trình tổng quát, ta được: \[ x - y + 2z - 12 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ là: \[ x - y + 2z - 12 = 0 \] Câu 34. Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M_0(1, -2, 3) \) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (-2, -3, 8)\) và \(\overrightarrow{b} = (-1, 0, 6)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P) có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 8 \\ -1 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3) \cdot 6 - 8 \cdot 0) - \mathbf{j}((-2) \cdot 6 - 8 \cdot (-1)) + \mathbf{k}((-2) \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(-18 - 0) - \mathbf{j}(-12 + 8) + \mathbf{k}(0 - 3) \] \[ = -18\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (-18, 4, -3)\). Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M_0(1, -2, 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (-18, 4, -3)\) có dạng: \[ -18(x - 1) + 4(y + 2) - 3(z - 3) = 0 \] Bước 3: Rút gọn phương trình mặt phẳng. \[ -18x + 18 + 4y + 8 - 3z + 9 = 0 \] \[ -18x + 4y - 3z + 35 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -18x + 4y - 3z + 35 = 0 \] Câu 35. Để viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1;1;0)$ và song song với đường thẳng $CD$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $CD$. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{CD}$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$. - Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 2-1, 1-0) = (-1, 1, 1) \] - Tính vectơ $\overrightarrow{CD}$: \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (1-1, 1-0, 1-2) = (0, 1, -1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là vectơ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} \] \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(1 - 0) + \mathbf{k}(-1 - 0) \] \[ \overrightarrow{n} = -2\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{n} = (-2, -1, -1) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: - Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. - Thay vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-2, -1, -1)$ và điểm $A(1, 1, 0)$ vào phương trình: \[ -2(x - 1) - 1(y - 1) - 1(z - 0) = 0 \] \[ -2x + 2 - y + 1 - z = 0 \] \[ -2x - y - z + 3 = 0 \] \[ 2x + y + z = 3 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ 2x + y + z = 3 \] Câu 36. Để viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(2;1;-3) \) và song song với mặt phẳng \( (P): 3x - 2y + z - 3 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng \( (P): 3x - 2y + z - 3 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (3, -2, 1) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cùng vectơ pháp tuyến với (P): Mặt phẳng đi qua điểm \( M(2;1;-3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (3, -2, 1) \) sẽ có phương trình dạng: \[ 3(x - 2) - 2(y - 1) + 1(z + 3) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: Ta mở ngoặc và rút gọn phương trình: \[ 3x - 6 - 2y + 2 + z + 3 = 0 \] \[ 3x - 2y + z - 1 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(2;1;-3) \) và song song với mặt phẳng \( (P) \) là: \[ 3x - 2y + z - 1 = 0 \] Câu 37. Để viết phương trình mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng (ABC): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-3, 2-(-2), 0-(-2)) = (0, 4, 2)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (0-3, 2-(-2), 1-(-2)) = (-3, 4, 3)$ 2. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) bằng cách lấy tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 4 & 2 \\ -3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - \mathbf{j}(0 \cdot 3 - 2 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(0 \cdot 4 - 4 \cdot (-3)) = \mathbf{i}(12 - 8) - \mathbf{j}(0 + 6) + \mathbf{k}(0 + 12) = 4\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 12\mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (4, -6, 12)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng tổng quát: Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng (ở đây là điểm A). Thay vào ta có: \[ 4(x - 3) - 6(y + 2) + 12(z + 2) = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: \[ 4x - 12 - 6y - 12 + 12z + 24 = 0 \] \[ 4x - 6y + 12z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \[ 4x - 6y + 12z = 0 \] Câu 38. Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng: Vector \( \overrightarrow{AB} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng vì mặt phẳng vuông góc với \( AB \). \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-0, 1-0, 3-1) = (2, 1, 2) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) và có vector pháp tuyến \( \vec{n} = (a, b, c) \) là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Thay \( A(0, 0, 1) \) và \( \vec{n} = (2, 1, 2) \) vào phương trình trên: \[ 2(x - 0) + 1(y - 0) + 2(z - 1) = 0 \] \[ 2x + y + 2z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \) là: \[ 2x + y + 2z - 2 = 0 \]