giải bài toán trên

Bài 1 1/ a) Ta có: $(x-2)(y+3)=xy$ $x\times y+x\times 3-2\times y-2\times 3=x\times y$ $3x-2y-6=0$ (1) $(x+2)(y-1)=xy$ $x\times y-x+2\times y-2=x\times y$ $-x+2y-2=0$ (2) Lấy (1) cộng với (2): $2x-8=0$ $2x=8$ $x=4$ Thay vào (2): $-4+2y-2=0$ $2y=6$ $y=3$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(4;3)$ b) $3-2x>x-6$ $-2x-x>-6-3$ $-3x>-9$ $x< 3$ 2/ Thay $(x;y)=(2;3)$ vào hệ phương trình ta có: $\left\{\begin{array}{l}2\times 2\times a+3\times b=5\\2\times a-(b-1)\times 3=4\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}4a+3b=5\\2a-3b=1\end{array}\right.$ Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai ta có: $6a=6$ $a=1$ Thay vào phương trình thứ hai ta có: $2\times 1-3b=1$ $2-3b=1$ $-3b=-1$ $b=\frac{1}{3}$ Vậy $a=1;b=\frac{1}{3}$ Bài 2 1/ Rút gọn các biểu thức: a) \(2\sqrt{8} - 3\sqrt{18} + 4\sqrt{50}\) Ta có: \[2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \times 2} = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\] \[3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\] \[4\sqrt{50} = 4\sqrt{25 \times 2} = 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\] Do đó: \[2\sqrt{8} - 3\sqrt{18} + 4\sqrt{50} = 4\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 20\sqrt{2} = (4 - 9 + 20)\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\] b) \(\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} - \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2}\) Ta có: \[\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1\] (vì \(\sqrt{3} > 1\)) \[\sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = |1 + \sqrt{3}| = 1 + \sqrt{3}\] Do đó: \[\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} - \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = (\sqrt{3} - 1) - (1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 - 1 - \sqrt{3} = -2\] 2/ Cho 2 biểu thức: \(A = \frac{\sqrt{x} - 5}{3}\); \(B = \frac{2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 10}{x - 4}\) với \(x \geq 0; x \neq 4\) a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 9\) Thay \(x = 9\) vào biểu thức \(A\): \[A = \frac{\sqrt{9} - 5}{3} = \frac{3 - 5}{3} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}\] b) Rút gọn biểu thức \(B\) Ta có: \[B = \frac{2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 10}{x - 4}\] Nhận thấy \(x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)\), ta có thể viết lại biểu thức \(B\) như sau: \[B = \frac{2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 10}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}\] Tìm mẫu chung và quy đồng: \[B = \frac{2(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} - 10)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{2\sqrt{x} + 4 + \sqrt{x} - 10}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{3\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}\] Rút gọn: \[B = \frac{3(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 2}\] c) Cho \(P = A \cdot B\). Tìm số nguyên \(x\) lớn nhất để \(P < \frac{1}{2}\) Ta có: \[P = \left( \frac{\sqrt{x} - 5}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{\sqrt{x} + 2} \right) = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 2}\] Yêu cầu \(P < \frac{1}{2}\): \[\frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 2} < \frac{1}{2}\] Nhân cả 2 vế với \(2(\sqrt{x} + 2)\) (vì \(\sqrt{x} + 2 > 0\)): \[2(\sqrt{x} - 5) < \sqrt{x} + 2\] \[2\sqrt{x} - 10 < \sqrt{x} + 2\] \[2\sqrt{x} - \sqrt{x} < 12\] \[\sqrt{x} < 12\] Vậy \(x < 144\). Số nguyên \(x\) lớn nhất thỏa mãn điều kiện này là \(x = 143\). Đáp số: 1/ a) \(15\sqrt{2}\) b) \(-2\) 2/ a) \(-\frac{2}{3}\) b) \(\frac{3}{\sqrt{x} + 2}\) c) \(x = 143\) Bài 3 Gọi số sản phẩm tổ I phải làm theo kế hoạch ban đầu là x (sản phẩm, điều kiện: x > 0) Số sản phẩm tổ II phải làm theo kế hoạch ban đầu là 500 - x (sản phẩm) Khi tăng năng suất, số sản phẩm tổ I làm được là: \[ x + 0,15x = 1,15x \] Khi tăng năng suất, số sản phẩm tổ II làm được là: \[ (500 - x) + 0,25(500 - x) = 1,25(500 - x) \] Theo đề bài, tổng số sản phẩm vượt chỉ tiêu là 95 sản phẩm, nên ta có phương trình: \[ 1,15x + 1,25(500 - x) = 500 + 95 \] \[ 1,15x + 1,25 \times 500 - 1,25x = 595 \] \[ 1,15x + 625 - 1,25x = 595 \] \[ -0,1x + 625 = 595 \] \[ -0,1x = 595 - 625 \] \[ -0,1x = -30 \] \[ x = 300 \] Vậy số sản phẩm tổ I phải làm theo kế hoạch ban đầu là 300 sản phẩm. Số sản phẩm tổ II phải làm theo kế hoạch ban đầu là: \[ 500 - 300 = 200 \text{ (sản phẩm)} \] Đáp số: Tổ I: 300 sản phẩm, Tổ II: 200 sản phẩm. Bài 4 1/ Đổi: 1 phút 20 giây = 80 giây Quãng đường xe đi được là: $4 \times 80 = 320$ (m) Ta có: $\sin 5^0 = \frac{CD}{BC}$ $\Rightarrow CD = BC \times \sin 5^0 = 320 \times 0,087 = 27,84 \approx 28$ (m) Đáp số: 28 m 2/ a/ Ta có: $\widehat{CAM} = \widehat{COM} = 90^0$ $\Rightarrow$ Tứ giác AOMC nội tiếp (định lý nội tiếp) b/ Ta có: $\widehat{BOD} = \widehat{COM} = 90^0$ $\Rightarrow$ Tứ giác BODM nội tiếp (định lý nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{MDB} = \widehat{OMB} = \widehat{MAC}$ $\Rightarrow$ Tứ giác CMDA nội tiếp (định lý nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{CMD} = \widehat{CAD} = 90^0$ $\Rightarrow MC \perp MD$ Mà $OC \perp MD$ nên $MC \parallel OC$ $\Rightarrow \frac{MC}{OC} = \frac{AC}{AO} = \frac{AC}{R}$ $\Rightarrow MC = \frac{AC \times R}{R} = AC$ $\Rightarrow MC \times MD = AC \times MD = R^2$ c/ Ta có: $\widehat{KOM} = \widehat{KDM} = 90^0$ $\Rightarrow$ Tứ giác OKMD nội tiếp (định lý nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{OKM} = \widehat{ODM}$ $\Rightarrow \Delta OKM \sim \Delta ODM$ (g-g) $\Rightarrow \frac{OK}{OM} = \frac{OM}{OD}$ $\Rightarrow OM^2 = OK \times OD$ $\Rightarrow OM^2 = OK \times (OK + KD)$ $\Rightarrow OM^2 = OK^2 + OK \times KD$ $\Rightarrow OK \times KD = OM^2 - OK^2$ $\Rightarrow OK \times KD = (OM - OK)(OM + OK)$ $\Rightarrow OK \times KD = KM \times (OM + OK)$ $\Rightarrow OK \times KD = KM \times ON$ $\Rightarrow S_{OKM} = \frac{KM \times ON}{2}$ $\Rightarrow S_{OKM}$ lớn nhất khi KM lớn nhất $\Rightarrow S_{OKM}$ lớn nhất khi KM là đường kính của (O) $\Rightarrow \widehat{KOM} = 90^0$ $\Rightarrow \widehat{KDM} = 90^0$ $\Rightarrow \widehat{KCM} = 90^0$ $\Rightarrow \widehat{KCA} = 90^0$ $\Rightarrow CA \perp OA$ $\Rightarrow C$ là trung điểm của OA Bài 5 Để diện tích tam giác CMD nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của C và D sao cho diện tích tam giác CMD nhỏ nhất. Xét tam giác CMD, ta thấy diện tích của nó phụ thuộc vào độ dài đáy và chiều cao hạ từ đỉnh xuống đáy. Ta sẽ chọn C và D sao cho đường thẳng CD vuông góc với đường thẳng AB. Khi đó, ta có: - Độ dài đoạn thẳng CD là cố định. - Chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy CD cũng là cố định. Do đó, diện tích tam giác CMD sẽ nhỏ nhất khi đoạn thẳng CD vuông góc với đoạn thẳng AB. Vậy để diện tích tam giác CMD nhỏ nhất, ta cần chọn C và D sao cho đoạn thẳng CD vuông góc với đoạn thẳng AB. Đáp số: C và D sao cho đoạn thẳng CD vuông góc với đoạn thẳng AB.