Xét tính đúng sai

Câu 1: a) Xét điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = 3\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM bằng $\sqrt{37}$. Đúng Sai Giải: - Điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) nên có tọa độ dạng $(0, y, z)$. - Ta có $\overrightarrow{MA} = (6 - 0, 1 - y, 0 - z) = (6, 1 - y, -z)$. - $\overrightarrow{MB} = (-1 - 0, 3 - y, 2 - z) = (-1, 3 - y, 2 - z)$. - $\overrightarrow{MC} = (1 - 0, -1 - y, 1 - z) = (1, -1 - y, 1 - z)$. - $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (6 - 1 + 1, 1 - y + 3 - y - 1 - y, -z + 2 - z + 1 - z) = (6, 3 - 3y, 3 - 3z)$. - $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |(6, 3 - 3y, 3 - 3z)| = \sqrt{6^2 + (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2} = 3\sqrt{5}$. - $\sqrt{36 + (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2} = 3\sqrt{5}$. - $36 + (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2 = 45$. - $(3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2 = 9$. - $(3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2 = 3^2$. - Điều này đúng khi $y = 1$ và $z = 1$. - Vậy tọa độ của M là $(0, 1, 1)$. - Độ dài đoạn thẳng AM là $|AM| = \sqrt{(6 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{36 + 0 + 1} = \sqrt{37}$. - Đáp án: Đúng. b) Trọng tâm của tam giác ABC là $I(2, 1, 1)$. Đúng Sai Giải: - Trọng tâm của tam giác ABC là $I = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$. - $x_I = \frac{6 + (-1) + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$. - $y_I = \frac{1 + 3 + (-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$. - $z_I = \frac{0 + 2 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. - Vậy tọa độ của I là $(2, 1, 1)$. - Đáp án: Đúng. c) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác ABE. Tọa độ của điểm E là $(-2, -7, 1)$. Đúng Sai Giải: - Trọng tâm của tam giác ABE là $C = \left(\frac{x_A + x_B + x_E}{3}, \frac{y_A + y_B + y_E}{3}, \frac{z_A + z_B + z_E}{3}\right)$. - $x_C = \frac{6 + (-1) + x_E}{3} = 1$. - $1 = \frac{5 + x_E}{3}$. - $3 = 5 + x_E$. - $x_E = -2$. - $y_C = \frac{1 + 3 + y_E}{3} = -1$. - $-1 = \frac{4 + y_E}{3}$. - $-3 = 4 + y_E$. - $y_E = -7$. - $z_C = \frac{0 + 2 + z_E}{3} = 1$. - $1 = \frac{2 + z_E}{3}$. - $3 = 2 + z_E$. - $z_E = 1$. - Vậy tọa độ của E là $(-2, -7, 1)$. - Đáp án: Đúng. d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) bằng $\sqrt{37}$. Đúng Sai Giải: - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) là khoảng cách từ điểm A đến trục Oz. - Khoảng cách này là $|x_A| = |6| = 6$. - Đáp án: Sai. Câu 2: Vui lòng lập luận từng bước. Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.