Giúp tôi với Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ có bảng biến thiên như hình vẽ,a) Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb R\setminus\{1\}.$,,b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.,c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;2).$,d) Có 2024 số nguyên m trên $[-2024;2024]$ để phương trình $|\frac{ax+b}{cx+d}|=m$ có,hai nghiệm phân biệt.

Question

Giúp tôi với Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ có bảng biến thiên như hình vẽ,a) Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb R\setminus\{1\}.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/f32ae10606424da989134b207849ae29.jpg />,b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.,c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;2).$,d) Có 2024 số nguyên m trên $[-2024;2024]$ để phương trình $|\frac{ax+b}{cx+d}|=m$ có,hai nghiệm phân biệt.

Accepted Answer

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Hàm số $y = f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó. Ta tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)' = \frac{(ax + b)'(cx + d) - (ax + b)(cx + d)'}{(cx + d)^2} = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}. $$ Để hàm số nghịch biến, ta cần: $$ \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} < 0. $$ Do $(cx + d)^2 > 0$ với mọi $x \neq -\frac{d}{c}$, nên ta cần: $$ ad - bc < 0. $$ b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số có giá trị nhỏ nhất là 2. Điều này có nghĩa là: $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2. $$ Điều này xảy ra khi đường thẳng $y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó: $$ \frac{a}{c} = 2 \implies a = 2c. $$ c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;2)$. Điểm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ là điểm $(h; k)$, trong đó: $$ h = -\frac{d}{c} \quad \text{và} \quad k = \frac{a}{c}. $$ Theo đề bài, tâm đối xứng là $I(1;2)$, do đó: $$ -\frac{d}{c} = 1 \implies d = -c \quad \text{và} \quad \frac{a}{c} = 2 \implies a = 2c. $$ d) Có 2024 số nguyên m trên $[-2024;2024]$ để phương trình $|\frac{ax+b}{cx+d}|=m$ có hai nghiệm phân biệt. Phương trình $|\frac{ax + b}{cx + d}| = m$ có hai nghiệm phân biệt nếu $m > 0$. Số lượng số nguyên dương trên đoạn $[1, 2024]$ là 2024. Do đó, có 2024 số nguyên m trên $[-2024;2024]$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Kết luận: - Điều kiện xác định: $x \neq 1$. - Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$. - Giá trị nhỏ nhất: 2. - Tâm đối xứng: $I(1;2)$. - Số lượng số nguyên m: 2024. Đáp số: 2024.