Tìm giá trị nhỏ nhất của
A=x^2-2xy+2y^2-2y+1

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 1 $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta nhóm các hạng tử của biểu thức $ A $ sao cho dễ dàng nhận thấy các hằng đẳng thức.

$$ A = x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2y + 1 $$

Bước 2: Ta nhận thấy rằng $ x^2 - 2xy + y^2 $ là một hằng đẳng thức và có thể viết dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu.

$$ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 $$

Bước 3: Ta cũng nhận thấy rằng $ y^2 - 2y + 1 $ cũng là một hằng đẳng thức và có thể viết dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu.

$$ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 $$

Bước 4: Thay các hằng đẳng thức này vào biểu thức ban đầu, ta có:

$$ A = (x - y)^2 + (y - 1)^2 $$

Bước 5: Ta biết rằng bình phương của một số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, $ (x - y)^2 \geq 0 $ và $ (y - 1)^2 \geq 0 $.

Bước 6: Biểu thức $ A $ đạt giá trị nhỏ nhất khi cả hai bình phương đều bằng 0.

$$ (x - y)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y - 1)^2 = 0 $$

Bước 7: Giải các phương trình này, ta có:

$$ x - y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = y $$
$$ y - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1 $$

Do đó, $ x = 1 $ và $ y = 1 $.

Bước 8: Thay $ x = 1 $ và $ y = 1 $ vào biểu thức $ A $:

$$ A = (1 - 1)^2 + (1 - 1)^2 = 0 + 0 = 0 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là 0, đạt được khi $ x = 1 $ và $ y = 1 $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 0, đạt được khi $ x = 1 $ và $ y = 1 $.