Giải giúp mình với ạ

Câu 1. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [7; 10): Trung vị = $\frac{7 + 10}{2} = 8.5$ - Nhóm [10; 13): Trung vị = $\frac{10 + 13}{2} = 11.5$ - Nhóm [13; 16): Trung vị = $\frac{13 + 16}{2} = 14.5$ - Nhóm [16; 19): Trung vị = $\frac{16 + 19}{2} = 17.5$ - Nhóm [19; 22): Trung vị = $\frac{19 + 22}{2} = 20.5$ - Nhóm [22; 25): Trung vị = $\frac{22 + 25}{2} = 23.5$ 2. Tính tổng số lượng nhân viên: Tổng số nhân viên = 10 + 9 + 5 + 5 + 15 + 15 = 59 3. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó, \(f_i\) là tần số của nhóm thứ i và \(x_i\) là trung vị của nhóm thứ i. \[ \bar{x} = \frac{(10 \times 8.5) + (9 \times 11.5) + (5 \times 14.5) + (5 \times 17.5) + (15 \times 20.5) + (15 \times 23.5)}{59} \] \[ \bar{x} = \frac{85 + 103.5 + 72.5 + 87.5 + 307.5 + 352.5}{59} \] \[ \bar{x} = \frac{908.5}{59} \approx 15.4 \] 4. Tính phương sai: Phương sai \(s^2\) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Ta tính từng phần: \[ (8.5 - 15.4)^2 = (-6.9)^2 = 47.61 \] \[ (11.5 - 15.4)^2 = (-3.9)^2 = 15.21 \] \[ (14.5 - 15.4)^2 = (-0.9)^2 = 0.81 \] \[ (17.5 - 15.4)^2 = (2.1)^2 = 4.41 \] \[ (20.5 - 15.4)^2 = (5.1)^2 = 26.01 \] \[ (23.5 - 15.4)^2 = (8.1)^2 = 65.61 \] Tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = (10 \times 47.61) + (9 \times 15.21) + (5 \times 0.81) + (5 \times 4.41) + (15 \times 26.01) + (15 \times 65.61) \] \[ = 476.1 + 136.89 + 4.05 + 22.05 + 390.15 + 984.15 \] \[ = 1913.4 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{1913.4}{59} \approx 32.4 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 32.4 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 2. Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, và $\overrightarrow{F_3}$, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm độ lớn của hợp lực của hai lực đầu tiên: - Ta có $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ vuông góc với nhau, do đó độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_{12}}$ của hai lực này là: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ N} \] 2. Tìm độ lớn của hợp lực của ba lực: - Bây giờ, ta cần tìm độ lớn của hợp lực của $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$. Vì $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ cũng vuông góc với nhau, nên độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ là: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{18 + 16} = \sqrt{34} \approx 5.8 \text{ N} \] Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 5.8 N. Câu 3. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ trong hệ tọa độ Oxyz. - Điểm $A$ có tọa độ $(0;0;0)$. - Điểm $B$ có tọa độ $(1;0;0)$ vì nó nằm trên tia Ox. - Điểm $D$ có tọa độ $(0;7;0)$ vì nó nằm trên tia Oy. - Điểm $A_1$ có tọa độ $(0;0;7)$ vì nó nằm trên tia Oz. Do đó: - Điểm $B_1$ có tọa độ $(1;0;7)$. - Điểm $C_1$ có tọa độ $(1;7;7)$. - Điểm $D_1$ có tọa độ $(0;7;7)$. Trọng tâm $M$ của tam giác $B_1C_1D_1$ có tọa độ được tính theo công thức trọng tâm của tam giác: \[ M\left( \frac{x_{B_1} + x_{C_1} + x_{D_1}}{3}, \frac{y_{B_1} + y_{C_1} + y_{D_1}}{3}, \frac{z_{B_1} + z_{C_1} + z_{D_1}}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức: \[ M\left( \frac{1 + 1 + 0}{3}, \frac{0 + 7 + 7}{3}, \frac{7 + 7 + 7}{3} \right) = M\left( \frac{2}{3}, \frac{14}{3}, 7 \right) \] Tọa độ của điểm $M$ là $\left( \frac{2}{3}, \frac{14}{3}, 7 \right)$. Bây giờ, ta tính giá trị của $P = 2a + 2b - 2c$: \[ P = 2 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{14}{3} - 2 \cdot 7 \] \[ P = \frac{4}{3} + \frac{28}{3} - 14 \] \[ P = \frac{4 + 28}{3} - 14 \] \[ P = \frac{32}{3} - 14 \] \[ P = \frac{32}{3} - \frac{42}{3} \] \[ P = \frac{32 - 42}{3} \] \[ P = \frac{-10}{3} \] \[ P \approx -3.3 \] Vậy giá trị của $P$ là $-3.3$. Câu 4. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số ngày chạy bộ: \[ n = 2 + 3 + 4 + 3 + 3 + 7 = 22 \] 2. Xác định các giá trị Q1 và Q3: - Q1 nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$, do đó Q1 nằm trong khoảng thứ 6 (sau khi sắp xếp). - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 22}{4} = 16,5$, do đó Q3 nằm trong khoảng thứ 17 (sau khi sắp xếp). 3. Xác định các khoảng tương ứng: - Khoảng thứ 6 là [1,7 ; 2,2) - Khoảng thứ 17 là [3,2 ; 3,7) 4. Tìm giá trị trung tâm của các khoảng này: - Giá trị trung tâm của [1,7 ; 2,2) là $\frac{1,7 + 2,2}{2} = 1,95$ (làm tròn đến hàng phần mười là 2,0) - Giá trị trung tâm của [3,2 ; 3,7) là $\frac{3,2 + 3,7}{2} = 3,45$ (làm tròn đến hàng phần mười là 3,5) 5. Kết luận khoảng tứ phân vị: \[ Q1 = 2,0 \] \[ Q3 = 3,5 \] Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là từ 2,0 đến 3,5. Đáp số: Khoảng tứ phân vị là từ 2,0 đến 3,5. Câu 5. Để tìm tốc độ trung bình \( v \) sao cho chi phí tiền xăng \( C(v) \) là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( C(v) \): \[ C(v) = \frac{3v}{5} + \frac{8112}{5v} \] Tính đạo hàm \( C'(v) \): \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{3v}{5}\right) + \frac{d}{dv}\left(\frac{8112}{5v}\right) \] \[ C'(v) = \frac{3}{5} - \frac{8112}{5v^2} \] 2. Tìm điểm cực tiểu của \( C(v) \): Đặt \( C'(v) = 0 \): \[ \frac{3}{5} - \frac{8112}{5v^2} = 0 \] \[ \frac{3}{5} = \frac{8112}{5v^2} \] \[ 3v^2 = 8112 \] \[ v^2 = 2704 \] \[ v = \sqrt{2704} \] \[ v = 52 \] 3. Kiểm tra điều kiện \( 0 \leq v \leq 150 \): \( v = 52 \) nằm trong khoảng \( 0 \leq v \leq 150 \). 4. Xác nhận \( v = 52 \) là điểm cực tiểu: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai \( C''(v) \): \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{3}{5} - \frac{8112}{5v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{16224}{5v^3} \] Tại \( v = 52 \): \[ C''(52) = \frac{16224}{5 \times 52^3} > 0 \] Vì \( C''(52) > 0 \), nên \( v = 52 \) là điểm cực tiểu của \( C(v) \). 5. Kết luận: Chi phí tiền xăng là thấp nhất khi tốc độ trung bình \( v = 52 \) km/h. Đáp số: \( v = 52 \) km/h. Câu 6. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, tức là vectơ $\overrightarrow{AB}$. \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (40 - 20, 50 - 40, 50 - 30) = (20, 10, 20) \] Tiếp theo, ta cần tìm thời gian để con chim bay từ điểm A đến điểm B. Biết rằng con chim bay trong vòng 4 phút, ta sẽ tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là: \[ d_{AB} = \sqrt{(40-20)^2 + (50-40)^2 + (50-30)^2} = \sqrt{20^2 + 10^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 100 + 400} = \sqrt{900} = 30 \text{ mét} \] Vận tốc của con chim là: \[ v = \frac{d_{AB}}{\text{thời gian}} = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ mét/phút} \] Sau 2 phút nữa, con chim sẽ bay thêm một đoạn đường dài: \[ d_{BC} = v \times 2 = 7.5 \times 2 = 15 \text{ mét} \] Ta cần tìm tọa độ của điểm C. Ta biết rằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là (20, 10, 20). Tỉ lệ của khoảng cách từ B đến C so với khoảng cách từ A đến B là: \[ \frac{d_{BC}}{d_{AB}} = \frac{15}{30} = 0.5 \] Do đó, tọa độ của điểm C sẽ là: \[ C = B + 0.5 \times \overrightarrow{AB} = (40, 50, 50) + 0.5 \times (20, 10, 20) = (40, 50, 50) + (10, 5, 10) = (50, 55, 60) \] Vậy tọa độ của điểm C là (50, 55, 60). Cuối cùng, ta tính tổng \(a + b + c\): \[ a + b + c = 50 + 55 + 60 = 165 \] Đáp số: 165