Giải các câu sau

Câu 1. Để giải phương trình \( \cot x = -1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị cơ bản của \( x \) thỏa mãn phương trình: Ta biết rằng \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Phương trình \( \cot x = -1 \) tương đương với: \[ \frac{\cos x}{\sin x} = -1 \implies \cos x = -\sin x \] Điều này xảy ra khi \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)) vì \( \cos(-\frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) \). 2. Kiểm tra các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) - Đáp án B: \( x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \) - Đáp án C: \( x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \) - Đáp án D: \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi \) Trong đó, chỉ có đáp án A đúng vì \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) là tập hợp tất cả các giá trị \( x \) thỏa mãn phương trình \( \cot x = -1 \). Kết luận: Đáp án đúng là A. \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)). Câu 2. Để tính $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{1 + n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho \( n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{1 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n + 1}{n}}{\frac{1 + n}{n}} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} \] Bước 3: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức: - Khi \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n} \to 0\). Do đó: \[ = \frac{2 + 0}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2 \] Vậy, $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{1 + n} = 2$. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 3. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N: - M là trung điểm của SA. - N là trung điểm của SC. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. \( MN // (ABCD) \): - Để \( MN // (ABCD) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng (ABCD). Tuy nhiên, do M nằm trên SA và N nằm trên SC, đoạn thẳng MN không thể song song với mặt phảng (ABCD) vì nó nằm trong mặt phẳng (SAC). B. \( AN // (SAB) \): - Để \( AN // (SAB) \), đoạn thẳng AN phải song song với mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên, do N nằm trên SC, đoạn thẳng AN không thể song song với mặt phẳng (SAB) vì nó nằm trong mặt phẳng (SAC). C. \( MN // (SCD) \): - Để \( MN // (SCD) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng (SCD). Tuy nhiên, do M nằm trên SA và N nằm trên SC, đoạn thẳng MN không thể song song với mặt phẳng (SCD) vì nó nằm trong mặt phẳng (SAC). D. \( MN // (SBC) \): - Để \( MN // (SBC) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng (SBC). Ta thấy rằng, đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC) và không giao với mặt phẳng (SBC). Do đó, đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (SBC). Vậy khẳng định đúng là: D. \( MN // (SBC) \). Câu 4. Để xác định nhóm chứa mốt, chúng ta cần tìm nhóm có tần số lớn nhất trong bảng phân phối tần số đã cho. Bảng phân phối tần số: \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Giá trị (x) & [10; 15) & [15; 20) & [20; 25) & (25; 30) & [30; 35) & [35; 40) \\ \hline Tần số (n) & 2 & 5 & 15 & 8 & 9 & 1 \\ \hline \end{array} Nhìn vào bảng trên, ta thấy tần số lớn nhất là 15, thuộc nhóm [20; 25). Vậy nhóm chứa mốt là: C. [20; 25). Câu 5. Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tỷ số giữa hai số liên tiếp trong mỗi dãy số. A. Dãy số: 1, -3, 9, -27, 54 - Tỷ số giữa -3 và 1 là: $\frac{-3}{1} = -3$ - Tỷ số giữa 9 và -3 là: $\frac{9}{-3} = -3$ - Tỷ số giữa -27 và 9 là: $\frac{-27}{9} = -3$ - Tỷ số giữa 54 và -27 là: $\frac{54}{-27} = -2$ Như vậy, dãy số này không phải là cấp số nhân vì các tỷ số không giống nhau. B. Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16 - Tỷ số giữa 2 và 1 là: $\frac{2}{1} = 2$ - Tỷ số giữa 4 và 2 là: $\frac{4}{2} = 2$ - Tỷ số giữa 8 và 4 là: $\frac{8}{4} = 2$ - Tỷ số giữa 16 và 8 là: $\frac{16}{8} = 2$ Như vậy, dãy số này là cấp số nhân với tỷ số chung là 2. C. Dãy số: 1, -1, 1, -1, 1, 1 - Tỷ số giữa -1 và 1 là: $\frac{-1}{1} = -1$ - Tỷ số giữa 1 và -1 là: $\frac{1}{-1} = -1$ - Tỷ số giữa -1 và 1 là: $\frac{-1}{1} = -1$ - Tỷ số giữa 1 và -1 là: $\frac{1}{-1} = -1$ - Tỷ số giữa 1 và 1 là: $\frac{1}{1} = 1$ Như vậy, dãy số này không phải là cấp số nhân vì các tỷ số không giống nhau. D. Dãy số: 1, -2, 4, -8, 16 - Tỷ số giữa -2 và 1 là: $\frac{-2}{1} = -2$ - Tỷ số giữa 4 và -2 là: $\frac{4}{-2} = -2$ - Tỷ số giữa -8 và 4 là: $\frac{-8}{4} = -2$ - Tỷ số giữa 16 và -8 là: $\frac{16}{-8} = -2$ Như vậy, dãy số này là cấp số nhân với tỷ số chung là -2. Kết luận: Dãy số không phải là cấp số nhân là dãy số A và C. Đáp án: A và C. Câu 6. Hàm số $y = \tan x$ có chu kỳ tuần hoàn là $\pi$. Lý do: - Hàm số $y = \tan x$ được định nghĩa bởi $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. - Ta biết rằng $\sin(x + \pi) = -\sin x$ và $\cos(x + \pi) = -\cos x$. - Do đó, $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$. - Điều này chứng tỏ rằng hàm số $y = \tan x$ lặp lại giá trị của nó sau mỗi khoảng $\pi$. Vậy đáp án đúng là: A. $T = \pi$. Câu 7. Chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để xác định khẳng định đúng về công thức $\cos(a + b)$. A. $\cos(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ B. $\cos(a + b) = \cos a \sin b - \sin a \cos b$ C. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ D. $\cos(a + b) = \cos a \sin b + \sin a \cos b$ Công thức đúng cho $\cos(a + b)$ là: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] Do đó, khẳng định đúng là: C. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành tâm O, do đó O là trung điểm của cả AC và BD. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) sẽ cắt nhau theo một đường thẳng. Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta cần tìm điểm chung giữa chúng. - Điểm S thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Điểm O cũng thuộc cả hai mặt phẳng vì O là trung điểm của AC và BD, và cả hai đoạn thẳng này đều nằm trong các mặt phẳng tương ứng. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng đi qua hai điểm S và O. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. Đáp án đúng là: C. SO. Câu 9. Để đổi số đo của góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ \alpha_{radian} = \alpha_{độ} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng vào bài toán: \[ \alpha = 90^\circ \] Thay vào công thức: \[ \alpha_{radian} = 90^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{90 \pi}{180} = \frac{\pi}{2} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Câu 10. Để tìm giới hạn của hàm số \(3f(x)\) khi \(x\) tiến đến 1, ta sử dụng tính chất của giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} 3f(x) = 3 \cdot \lim_{x \to 1} f(x) \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 3 \] Do đó, ta thay giá trị này vào công thức trên: \[ \lim_{x \to 1} 3f(x) = 3 \cdot 3 = 9 \] Vậy, giới hạn của \(3f(x)\) khi \(x\) tiến đến 1 là 9. Đáp án đúng là: C. 9. Câu 11. Để tìm giá trị của các số hạng trong dãy số $(u_n)$, ta thay giá trị của $n$ vào công thức $u_n = \frac{1}{2n}$. A. $u_4 = \frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$. Đáp án này sai vì $u_4 = \frac{1}{8}$, không phải $\frac{1}{4}$. B. $u_5 = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10}$. Đáp án này đúng vì $u_5 = \frac{1}{10}$. C. $u_6 = \frac{1}{2 \times 6} = \frac{1}{12}$. Đáp án này sai vì $u_6 = \frac{1}{12}$, không phải $\frac{1}{32}$. D. $u_3 = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$. Đáp án này sai vì $u_3 = \frac{1}{6}$, không phải $\frac{1}{8}$. Vậy đáp án đúng là: B. $u_5 = \frac{1}{10}$. Câu 12. Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là: \[ d = u_2 - u_1 = 10 - 4 = 6 \] Đáp số: 6