câu hỏi đúng sai

Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất (Q1) Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị chia dãy số thành hai phần, trong đó 25% các giá trị nằm dưới Q1 và 75% các giá trị nằm trên Q1. - Tổng số ngày: 5 + 4 + 10 + 7 + 4 = 30 ngày. - Vị trí của Q1: $\frac{30}{4} = 7,5$. Do đó, Q1 nằm ở nhóm thứ 8 (vì 7,5 làm tròn lên). Nhóm thứ 8 thuộc nhóm [25;30). Vậy nhóm chứa Q1 là [25;30). b) Tính khoảng tử phân vị (IQR) Khoảng tử phân vị (IQR) là khoảng cách giữa Q3 và Q1. - Vị trí của Q3: $\frac{3 \times 30}{4} = 22,5$. Do đó, Q3 nằm ở nhóm thứ 23 (vì 22,5 làm tròn lên). Nhóm thứ 23 thuộc nhóm [30;35). Tính Q1 và Q3: - Q1 nằm trong nhóm [25;30): - Giới hạn dưới của nhóm: 25 - Số lượng các giá trị trước nhóm này: 5 + 4 = 9 - Số lượng các giá trị trong nhóm này: 10 - Vị trí của Q1 trong nhóm: 7,5 - 9 = -1,5 (chuyển sang nhóm tiếp theo) - Q1 = 25 + $\frac{-1,5}{10} \times 5 = 25 - 0,75 = 24,25$ - Q3 nằm trong nhóm [30;35): - Giới hạn dưới của nhóm: 30 - Số lượng các giá trị trước nhóm này: 5 + 4 + 10 = 19 - Số lượng các giá trị trong nhóm này: 7 - Vị trí của Q3 trong nhóm: 22,5 - 19 = 3,5 - Q3 = 30 + $\frac{3,5}{7} \times 5 = 30 + 2,5 = 32,5$ Khoảng tử phân vị (IQR) = Q3 - Q1 = 32,5 - 24,25 = 8,25 c) Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai (σ²) được tính bằng công thức: \[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trước tiên, tính trung bình cộng (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{(17,5 \times 5) + (22,5 \times 4) + (27,5 \times 10) + (32,5 \times 7) + (37,5 \times 4)}{30} \] \[ \bar{x} = \frac{87,5 + 90 + 275 + 227,5 + 150}{30} = \frac{830}{30} = 27,67 \] Bây giờ, tính phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{(17,5 - 27,67)^2 \times 5 + (22,5 - 27,67)^2 \times 4 + (27,5 - 27,67)^2 \times 10 + (32,5 - 27,67)^2 \times 7 + (37,5 - 27,67)^2 \times 4}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{(-10,17)^2 \times 5 + (-5,17)^2 \times 4 + (-0,17)^2 \times 10 + (4,83)^2 \times 7 + (9,83)^2 \times 4}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{517,1885 + 107,0244 + 0,289 + 154,5849 + 386,5556}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{1165,6424}{30} = 38,85 \] d) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu Khoảng biến thiên là sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ \text{Khoảng biến thiên} = 40 - 15 = 25 \] Kết luận: a) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [25;30). b) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 8,25. c) Phương sai của mẫu số liệu là 38,85 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). d) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 25. Câu 3. a) Flycam thứ nhất cách điểm xuất phát một khoảng cách là 8 m. - Ta tính khoảng cách từ flycam thứ nhất đến điểm xuất phát: \[ OA = \sqrt{6^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 9 + 25} = \sqrt{70} \] Vậy khoảng cách từ flycam thứ nhất đến điểm xuất phát là $\sqrt{70}$ m, không phải 8 m. b) Tọa độ của chiếc flycam thứ nhất là $A(6;3;5),$ tọa độ của chiếc flycam thứ hai là $B(-2;-4;5).$ - Tọa độ của flycam thứ nhất là $A(6;3;5)$ vì nó cách điểm xuất phát 6 m về phía Đông, 3 m về phía Nam và 5 m trên mặt đất. - Tọa độ của flycam thứ hai là $B(-2;-4;5)$ vì nó cách điểm xuất phát 2 m về phía Bắc, 4 m về phía Tây và 5 m trên mặt đất. c) Điểm đối xứng của A qua mặt phẳng tọa độ (Oxy) là $A^\prime(6;3;-5).$ - Điểm đối xứng của A qua mặt phẳng tọa độ (Oxy) sẽ có tọa độ $A^\prime(6;3;-5)$ vì tọa độ z sẽ đổi dấu. d) Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tọa độ của vị trí đó là $(1;\frac12;0).$ - Để tìm điểm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất, ta cần tìm điểm đối xứng của B qua mặt phẳng tọa độ (Oxy), gọi là $B^\prime(-2;-4;-5)$. - Gọi điểm cần tìm là M trên mặt đất, ta có: \[ MA + MB = MA + MB^\prime \] - Tổng khoảng cách này ngắn nhất khi M nằm trên đường thẳng nối A và $B^\prime$. Ta viết phương trình đường thẳng này: \[ \frac{x - 6}{-2 - 6} = \frac{y - 3}{-4 - 3} = \frac{z - 5}{-5 - 5} = t \] - Thay $z = 0$ vào phương trình để tìm tọa độ của M: \[ t = \frac{0 - 5}{-5 - 5} = \frac{1}{2} \] - Từ đó suy ra: \[ x = 6 + (-8) \cdot \frac{1}{2} = 2 \] \[ y = 3 + (-7) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] - Vậy tọa độ của điểm M là $(2; \frac{1}{2}; 0)$. Đáp án đúng là: a) SAI b) ĐÚNG c) ĐÚNG d) SAI Câu 4. a) Số tiền bán được mỗi ngày là: \[ B(x) = 220x \text{ (nghìn đồng)} \] b) Chi phí biên tại \( x = 15 \): \[ C(x) = 500 - 20x - 3x^2 + x^3 \] Tính đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = -20 - 6x + 3x^2 \] Thay \( x = 15 \) vào \( C'(x) \): \[ C'(15) = -20 - 6 \cdot 15 + 3 \cdot 15^2 = -20 - 90 + 675 = 565 \text{ (nghìn đồng)} \] c) Lợi nhuận thu được là: \[ L(x) = B(x) - C(x) = 220x - (500 - 20x - 3x^2 + x^3) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \text{ (nghìn đồng)} \] d) Để tìm số mét vải lụa cần sản xuất và bán ra mỗi ngày để thu được lợi nhuận tối đa, ta tính đạo hàm của \( L(x) \) và tìm điểm cực đại: \[ L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \] Tính đạo hàm của \( L(x) \): \[ L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 \] Đặt \( L'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 6x + 240 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 2x - 80 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2} \] \[ x = 10 \quad \text{hoặc} \quad x = -8 \] Vì \( x \geq 1 \), ta có \( x = 10 \). Kiểm tra đạo hàm cấp hai: \[ L''(x) = -6x + 6 \] Thay \( x = 10 \) vào \( L''(x) \): \[ L''(10) = -6 \cdot 10 + 6 = -60 + 6 = -54 < 0 \] Vậy \( x = 10 \) là điểm cực đại. Do đó, lợi nhuận tối đa là: \[ L(10) = -(10)^3 + 3(10)^2 + 240(10) - 500 = -1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200 \text{ (nghìn đồng)} \] Đáp số: Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.