Tìm các câu đúng sai

Câu 1. a) Độ dài của nhóm bằng 1. Độ dài của mỗi nhóm là: \[ 5 - 4 = 1 \] \[ 6 - 5 = 1 \] \[ 7 - 6 = 1 \] \[ 8 - 7 = 1 \] \[ 9 - 8 = 1 \] Vậy độ dài của nhóm bằng 1. Đúng. b) Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam nhiều hơn các bạn học sinh nữ. Tính thời gian ngủ trung bình của học sinh nam: \[ \text{Trung bình} = \frac{(4,5 \times 8) + (5,5 \times 10) + (6,5 \times 13) + (7,5 \times 15) + (8,5 \times 7)}{8 + 10 + 13 + 15 + 7} \] \[ = \frac{(36 + 55 + 84,5 + 112,5 + 59,5)}{53} \] \[ = \frac{347,5}{53} \approx 6,5566 \] Tính thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ: \[ \text{Trung bình} = \frac{(4,5 \times 4) + (5,5 \times 6) + (6,5 \times 12) + (7,5 \times 18) + (8,5 \times 8)}{4 + 6 + 12 + 18 + 8} \] \[ = \frac{(18 + 33 + 78 + 135 + 68)}{48} \] \[ = \frac{332}{48} \approx 6,9167 \] Vậy thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ nhiều hơn học sinh nam. Sai. c) Phần lớn học sinh được khảo sát trong khối 11 ngủ nhiều hơn 6,5 giờ. Số học sinh nam ngủ nhiều hơn 6,5 giờ: \[ 13 + 15 + 7 = 35 \] Số học sinh nữ ngủ nhiều hơn 6,5 giờ: \[ 12 + 18 + 8 = 38 \] Tổng số học sinh: \[ 53 + 48 = 101 \] Số học sinh ngủ nhiều hơn 6,5 giờ: \[ 35 + 38 = 73 \] Phần trăm học sinh ngủ nhiều hơn 6,5 giờ: \[ \frac{73}{101} \times 100 \approx 72,28\% \] Vậy phần lớn học sinh ngủ nhiều hơn 6,5 giờ. Đúng. d) 75% học sinh được khảo sát trong khối 11 ngủ ít nhất 5,5 giờ. Số học sinh nam ngủ ít nhất 5,5 giờ: \[ 10 + 13 + 15 + 7 = 45 \] Số học sinh nữ ngủ ít nhất 5,5 giờ: \[ 6 + 12 + 18 + 8 = 44 \] Tổng số học sinh ngủ ít nhất 5,5 giờ: \[ 45 + 44 = 89 \] Phần trăm học sinh ngủ ít nhất 5,5 giờ: \[ \frac{89}{101} \times 100 \approx 88,12\% \] Vậy 75% học sinh ngủ ít nhất 5,5 giờ. Đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 2. Trước tiên, ta sẽ xác định các tính chất và vị trí của các điểm và đường thẳng trong hình chóp S.ABCD. 1. Hình bình hành ABCD: - Vì ABCD là hình bình hành, nên các cặp cạnh đối song song và bằng nhau: \(AB // CD\) và \(AD // BC\). 2. Điểm M và N: - M là trung điểm của AB, tức là \(AM = MB\). - N là trung điểm của CD, tức là \(CN = ND\). 3. Điểm P: - P là trung điểm của SA, tức là \(SP = PA\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) \(MN // BC\): - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, và ABCD là hình bình hành, nên MN sẽ song song với AD (vì M và N chia đều hai đoạn thẳng AB và CD). Tuy nhiên, do AD // BC, ta có \(MN // BC\). b) \(PN // SD\): - Ta cần kiểm tra xem PN có song song với SD hay không. Vì P là trung điểm của SA và N là trung điểm của CD, ta có thể suy ra rằng \(PN\) không song song với \(SD\) vì chúng không nằm trên cùng một đường thẳng và không có mối liên hệ trực tiếp về hướng. c) \(MN // (SAD)\): - Ta cần kiểm tra xem MN có song song với mặt phẳng (SAD) hay không. Vì MN // AD và AD nằm trong mặt phẳng (SAD), ta có thể suy ra rằng \(MN\) song song với mặt phẳng (SAD). d) SC cắt mặt phẳng (MNP): - Để kiểm tra xem SC có cắt mặt phẳng (MNP) hay không, ta cần xem xét vị trí của SC và các điểm M, N, P. Vì SC đi qua đỉnh S và điểm C, và MNP là mặt phẳng chứa các điểm M, N, và P, ta có thể suy ra rằng SC sẽ cắt mặt phẳng (MNP) tại một điểm nào đó. Tóm lại, các phát biểu đúng là: - a) \(MN // BC\) - c) \(MN // (SAD)\) Đáp án: a) và c) Câu 3. a) Ta có $AD // BC$ (vì ABCD là hình bình hành) $BC // EF$ (vì ABEF là hình bình hành) Suy ra $AD // EF$ nên $ADH(ABF)$ Mệnh đề đúng. b) Ta có $AF // BE$ (vì ABEF là hình bình hành) $FD // EC$ (vì ABCD là hình bình hành) Suy ra $(AFD) // (BEC)$ Mệnh đề đúng. c) Ta có $AB // DC$ (vì ABCD là hình bình hành) $AB // EF$ (vì ABEF là hình bình hành) Suy ra $DC // EF$ nên $(ABD) // (EFC)$ Mệnh đề sai. d) Vì $(ABD) // (EFC)$ nên sáu điểm A, B, C, D, E, F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Mệnh đề đúng. Câu 4. a) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{x}{2}\right) = +\infty \] Do đó, đáp án a) là sai. b) Ta xét giới hạn từ bên trái và bên phải: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(-\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}\right) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}\right) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x-2}{x+1}\right) = -\frac{1}{2} \] Như vậy, cả hai giới hạn đều bằng \(-\frac{1}{2}\), do đó đáp án b) là sai. c) Ta xét giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{x}{2}\right) = +\infty \] Do đó, đáp án c) là sai. d) Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x_0 = 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \] Ta đã tính ở trên: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\frac{1}{2} \] Bây giờ, ta tính \( f(1) \): \[ f(1) = \frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1^2 - 1} = \frac{1 - 3 + 2}{1 - 1} = \frac{0}{0} \] Do đó, \( f(1) \) không xác định. Vì vậy, hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x_0 = 1 \). Kết luận: Đáp án đúng là d) Hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x_0 = 1 \).