II. đúng sai Câu 14. Một vật chuyển động có phương trình quãng đường tỉnh bằng mét phụ thuộc thời gian t tỉnh bằng giây được biểu thị bởi hàm số f(t)= - t ^ 3 +9t^ hat 2 +21t| m). a) Quãng đường mà v...

Câu 14. a) Để tìm quãng đường mà vật đi được sau 2 giây, ta thay \( t = 2 \) vào phương trình quãng đường \( f(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t \): \[ f(2) = -(2)^3 + 9(2)^2 + 21(2) = -8 + 36 + 42 = 70 \text{ m} \] Vậy quãng đường mà vật đi được sau 2 giây là 70 m. b) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của hàm số quãng đường \( f(t) \): \[ v(t) = f'(t) = -3t^2 + 18t + 21 \] Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( v(t) \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -6t + 18 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 18 = 0 \implies t = 3 \] Ta kiểm tra dấu của \( v'(t) \) ở hai bên \( t = 3 \): - Khi \( t < 3 \), \( v'(t) > 0 \) - Khi \( t > 3 \), \( v'(t) < 0 \) Vậy \( t = 3 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). Ta thay \( t = 3 \) vào \( v(t) \): \[ v(3) = -3(3)^2 + 18(3) + 21 = -27 + 54 + 21 = 48 \text{ m/s} \] Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 48 m/s. c) Vận tốc của vật tăng từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi \( v'(t) = 0 \), tức là đến \( t = 3 \). Vậy vận tốc của vật tăng từ lúc bắt đầu chuyển động đến giây thứ 3. d) Để tìm quãng đường mà vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn, ta cần tìm thời điểm vật dừng lại, tức là khi \( v(t) = 0 \): \[ -3t^2 + 18t + 21 = 0 \] Chia cả phương trình cho -3: \[ t^2 - 6t - 7 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = 7 \quad \text{và} \quad t_2 = -1 \] Vì thời gian không thể âm nên ta có \( t = 7 \). Vậy vật dừng lại sau 7 giây. Ta thay \( t = 7 \) vào phương trình quãng đường: \[ f(7) = -(7)^3 + 9(7)^2 + 21(7) = -343 + 441 + 147 = 245 \text{ m} \] Vậy từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn, vật đi được quãng đường là 245 m. Đáp án: a) 70 m b) 48 m/s c) Vận tốc của vật tăng từ lúc bắt đầu chuyển động đến giây thứ 3. d) 245 m Câu 15. a) Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là: h = -3x + 6 (m) với 0 < x < 2 b) Hàm số xác định thể tích của khối trụ trên là: V = πx²h = πx²(-3x + 6) = π(6x² - 3x³) (m³) với x ∈ (0; 2) c) Giả sử bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao, tức là x = h. Ta có: -3x + 6 = x 4x = 6 x = 1.5 Thể tích của khối trụ là: V = π(6(1.5)² - 3(1.5)³) = π(6 × 2.25 - 3 × 3.375) = π(13.5 - 10.125) = π × 3.375 = 27/8π (m³) d) Để tìm thể tích lớn nhất của khối gỗ mà bác thợ mộc chế tác, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số V = π(6x² - 3x³). Tính đạo hàm của V: V' = π(12x - 9x²) Đặt V' = 0 để tìm điểm cực trị: π(12x - 9x²) = 0 12x - 9x² = 0 3x(4 - 3x) = 0 Ta có hai nghiệm: x = 0 hoặc 4 - 3x = 0 x = 0 hoặc x = 4/3 Do x ∈ (0; 2), ta chỉ xét x = 4/3. Kiểm tra dấu của V' ở các khoảng: - Với x < 4/3, V' > 0 (hàm số tăng) - Với x > 4/3, V' < 0 (hàm số giảm) Vậy x = 4/3 là điểm cực đại của hàm số V. Thể tích lớn nhất của khối gỗ là: V_max = π(6(4/3)² - 3(4/3)³) = π(6 × 16/9 - 3 × 64/27) = π(96/9 - 192/27) = π(96/9 - 64/9) = π × 32/9 = 32π/9 (m³) Đáp số: a) h = -3x + 6 (m) với 0 < x < 2 b) V = π(6x² - 3x³) (m³) với x ∈ (0; 2) c) V = 27/8π (m³) d) V_max = 32π/9 (m³)