Giải hộ emmm

Câu 20. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một tứ diện đều, các cạnh đều bằng nhau và các mặt đều là tam giác đều. Trọng tâm của tứ diện là điểm mà bốn đoạn thẳng nối từ mỗi đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện giao nhau. Bây giờ, ta sẽ tính góc liên kết H - C - H trong phân tử metan. Ta sẽ sử dụng hình học không gian để làm điều này. 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi \( A, B, C, D \) là các đỉnh của tứ diện đều. - Gọi \( O \) là trọng tâm của tứ diện. - Gọi \( G \) là trọng tâm của mặt \( BCD \). 2. Tính toán vectơ: - Vectơ \( \overrightarrow{OA} \) là vectơ từ \( O \) đến \( A \). - Vectơ \( \overrightarrow{OB} \) là vectơ từ \( O \) đến \( B \). 3. Sử dụng công thức cosin trong không gian: - Góc giữa hai vectơ \( \overrightarrow{OA} \) và \( \overrightarrow{OB} \) là góc liên kết H - C - H. - Công thức cosin trong không gian: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|} \] 4. Tính toán các giá trị: - Vì tứ diện đều, các cạnh đều bằng nhau và các vectơ từ trọng tâm đến các đỉnh cũng bằng nhau. - Ta có: \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \cdot \frac{1}{4} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) \] - Do tính chất đối xứng và đều đặn của tứ diện, ta có: \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{4} |\overrightarrow{AB}|^2 \] - Ta cũng có: \[ |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = \frac{\sqrt{3}}{3} |\overrightarrow{AB}| \] 5. Thay vào công thức cosin: - Ta có: \[ \cos \theta = \frac{-\frac{1}{4} |\overrightarrow{AB}|^2}{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} |\overrightarrow{AB}| \right)^2} = \frac{-\frac{1}{4} |\overrightarrow{AB}|^2}{\frac{1}{3} |\overrightarrow{AB}|^2} = -\frac{1}{4} \times 3 = -\frac{1}{3} \] 6. Tìm góc: - Ta có: \[ \theta = \cos^{-1} \left( -\frac{1}{3} \right) \] - Góc này gần đúng là \( 109.47^\circ \). Vậy, góc liên kết H - C - H trong phân tử metan là \( 109.47^\circ \).