Bbbbnnnmmkll

Câu 2. a) Ta có $\overrightarrow{DD'}$ vuông góc với mặt đáy ABCD, do đó $\overrightarrow{DD'}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Vậy $\overrightarrow{DD'}.\overrightarrow{AB} = 0$, không phải là $12a^2$. Đáp án này sai. b) Ta có $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B'C'}$ đều là vectơ chỉ chiều rộng của hình hộp chữ nhật, nhưng chúng không cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{B'C'}$. Đáp án này sai. c) Ta có: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ chiều dài của hình hộp chữ nhật, có độ dài là $2a$. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ chiều rộng của hình hộp chữ nhật, có độ dài là $3a$. - $\overrightarrow{CC'}$ là vectơ chỉ chiều cao của hình hộp chữ nhật, có độ dài là $4a$. Ta tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'}$: - Độ dài của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'}$ là $\sqrt{(2a)^2 + (3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2 + 16a^2} = \sqrt{29a^2} = a\sqrt{29}$. Vậy $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'}| = a\sqrt{29}$. Đáp án này đúng. d) Ta có: - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ chiều cao của hình hộp chữ nhật, có độ dài là $4a$. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ chiều dài của hình hộp chữ nhật, có độ dài là $2a$. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ chiều rộng của hình hộp chữ nhật, có độ dài là $3a$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB}$ không thể bằng $\overrightarrow{AD}$ vì chúng không cùng hướng và độ dài không phù hợp. Đáp án này sai. Kết luận: Đáp án đúng là c) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'}| = a\sqrt{29}$. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Nhóm chứa tử phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là: $[9,0;9,2)$ Tử phân vị thứ ba (P3) là giá trị chia dãy số thành ba phần bằng nhau, mỗi phần chiếm 1/3 tổng số lượng dữ liệu. Tổng số cây keo là: \[ 5 + 12 + 5 + 44 + 14 = 80 \] Tử phân vị thứ ba sẽ nằm ở vị trí: \[ \frac{3}{4} \times 80 = 60 \] Ta tính tổng số lượng cây keo từ nhóm đầu tiên đến nhóm cuối cùng để xác định nhóm chứa P3: - Nhóm [8,4; 8,6): 5 cây - Nhóm [8,6; 8,8): 12 cây (tổng: 5 + 12 = 17 cây) - Nhóm [8,8; 9,0): 5 cây (tổng: 17 + 5 = 22 cây) - Nhóm [9,0; 9,2): 44 cây (tổng: 22 + 44 = 66 cây) Như vậy, nhóm chứa tử phân vị thứ ba là nhóm [9,0; 9,2). b) Phương sai của mẫu số liệu trên là 0,05 (làm tròn đến hàng phần trăm) Phương sai được tính theo công thức: \[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trước hết, ta cần tính trung bình cộng (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(5 \times 8,5) + (12 \times 8,7) + (5 \times 8,9) + (44 \times 9,1) + (14 \times 9,3)}{80} \] \[ \bar{x} = \frac{42,5 + 104,4 + 44,5 + 400,4 + 130,2}{80} \] \[ \bar{x} = \frac{721,6}{80} \] \[ \bar{x} = 9,02 \] Bây giờ, ta tính phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{(5 \times (8,5 - 9,02)^2) + (12 \times (8,7 - 9,02)^2) + (5 \times (8,9 - 9,02)^2) + (44 \times (9,1 - 9,02)^2) + (14 \times (9,3 - 9,02)^2)}{80} \] \[ \sigma^2 = \frac{(5 \times (-0,52)^2) + (12 \times (-0,32)^2) + (5 \times (-0,12)^2) + (44 \times 0,08^2) + (14 \times 0,28^2)}{80} \] \[ \sigma^2 = \frac{(5 \times 0,2704) + (12 \times 0,1024) + (5 \times 0,0144) + (44 \times 0,0064) + (14 \times 0,0784)}{80} \] \[ \sigma^2 = \frac{1,352 + 1,2288 + 0,072 + 0,2816 + 1,0976}{80} \] \[ \sigma^2 = \frac{3,932}{80} \] \[ \sigma^2 = 0,04915 \approx 0,05 \] c) Cỡ của mẫu số liệu trong bảng trên là 80. Cỡ của mẫu số liệu là tổng số lượng dữ liệu, đã được tính ở phần trên là 80. d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là: 9,02. Trung bình cộng đã được tính ở phần trên là 9,02. Kết luận: a) Đúng, nhóm chứa tử phân vị thứ ba là $[9,0;9,2)$. b) Đúng, phương sai là 0,05. c) Đúng, cỡ của mẫu số liệu là 80. d) Đúng, số trung bình là 9,02. Câu 4. a) Ta có: - Tứ giác ABCD là hình bình hành nên vectơ AB = vectơ DC. - Vectơ AB = (1 - 1, 2 - 2, 3 - 1) = (0, 0, 2). - Vectơ DC = (-6 - x, 4 - y, 5 - z). Do đó, ta có: \[ \begin{cases} 0 = -6 - x \\ 0 = 4 - y \\ 2 = 5 - z \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta được: \[ \begin{cases} x = -6 \\ y = 4 \\ z = 3 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm D là (-6, 4, 3). b) Ta tính vectơ BA và vectơ CA: - Vectơ BA = (1 - 1, 2 - 2, 1 - 3) = (0, 0, -2). - Vectơ CA = (1 + 6, 2 - 4, 1 - 5) = (7, -2, -4). Ta tính tích vô hướng của vectơ BA và vectơ CA: \[ \text{BA} \cdot \text{CA} = 0 \times 7 + 0 \times (-2) + (-2) \times (-4) = 8 \] Ta tính độ dài của vectơ BA và vectơ CA: \[ |\text{BA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = 2 \] \[ |\text{CA}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 4 + 16} = \sqrt{69} \] Ta tính cos góc $\widehat{BAC}$: \[ \cos \widehat{BAC} = \frac{\text{BA} \cdot \text{CA}}{|\text{BA}| \times |\text{CA}|} = \frac{8}{2 \times \sqrt{69}} = \frac{4}{\sqrt{69}} \] Số đo góc $\widehat{BAC}$ là: \[ \widehat{BAC} = \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{69}}\right) \approx 60^\circ \] c) Ta có: - Hình chiếu vuông góc của B lên trục Oy là H(0, 2, 0). d) Ta tính trung điểm I của đoạn thẳng BC: - Tọa độ của I là: \[ I = \left( \frac{1 + (-6)}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = \left( \frac{-5}{2}, 3, 4 \right) \] Đáp án: a) Tọa độ của điểm D là (-6, 4, 3). b) Số đo góc $\widehat{BAC}$ là 60°. c) Hình chiếu vuông góc của B lên trục Oy là H(0, 2, 0). d) Trung điểm I của đoạn thẳng BC có tọa độ là $\left( \frac{-5}{2}, 3, 4 \right)$.