Cuuuuu toi vơi

Câu 2: a) Giá trị đại diện của nhóm 1 là 6,75 Giá trị đại diện của nhóm 1 là: \(\frac{6,5 + 7}{2} = 6,75\) Đáp án đúng. b) Tần số tích luỹ của nhóm 2 là 34 Tần số tích luỹ của nhóm 2 là: 7 + 10 = 17 Đáp án sai. c) Tổng số học sinh tham gia thống kê là 84 Tổng số học sinh tham gia thống kê là: 7 + 10 + 17 + 24 + 13 + 8 + 5 = 84 Đáp án đúng. d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến chữ số hàng phần chục) là \(\Delta_q = 1,1\). Số học sinh là 84, do đó ta tính Q1 và Q3 như sau: - Vị trí của Q1 là \(\frac{84}{4} = 21\), tức là ở nhóm thứ 3 (vì nhóm 1 có 7 học sinh, nhóm 2 có 10 học sinh, tổng là 17 học sinh, nhóm 3 có 17 học sinh, nên Q1 nằm trong nhóm 3). - Vị trí của Q3 là \(\frac{3 \times 84}{4} = 63\), tức là ở nhóm thứ 5 (nhóm 1 có 7 học sinh, nhóm 2 có 10 học sinh, nhóm 3 có 17 học sinh, nhóm 4 có 24 học sinh, tổng là 58 học sinh, nhóm 5 có 13 học sinh, nên Q3 nằm trong nhóm 5). Ta tính giá trị của Q1 và Q3: - Q1 = 7,5 + \(\frac{(21 - 17)}{17}\) × 0,5 ≈ 7,6 - Q3 = 8,5 + \(\frac{(63 - 58)}{13}\) × 0,5 ≈ 8,7 Khoảng tứ phân vị là: \(\Delta_q = Q3 - Q1 = 8,7 - 7,6 = 1,1\) Đáp án đúng. Đáp số: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Câu 3: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{SO}$ - Vì ABCD là hình vuông tâm O, nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ (vì các vectơ này tạo thành một hình vuông tâm O và tổng của chúng là vectơ null). Do đó, phát biểu này sai. b) $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$ - Ta có: - $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{S} + \overrightarrow{C} = 2\overrightarrow{S} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}$ - $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{S} + \overrightarrow{D} = 2\overrightarrow{S} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}$ - Vì ABCD là hình vuông tâm O, nên $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}$. Do đó, phát biểu này đúng. c) $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = \frac{a^2}{2}$ - Ta biết rằng trong hình chóp đều, góc giữa hai cạnh bên là góc giữa hai đường thẳng từ đỉnh đến hai đỉnh của đáy. - Gọi góc giữa $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ là $\theta$. - Ta có $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{SA}| |\overrightarrow{SB}|}$. - Vì SA = SB = a, nên $|\overrightarrow{SA}| = |\overrightarrow{SB}| = a$. - Ta cũng biết rằng trong hình chóp đều, góc giữa hai cạnh bên là 60°, do đó $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. - Vậy $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Do đó, phát biểu này đúng. d) $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{SC}$ - Ta có: - $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{NC})$ - $\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB})$ - $\overrightarrow{NC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC})$ - Kết hợp lại ta có: - $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{NC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC})$ - $= \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC})$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC}$ không bằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{SC}$. Do đó, phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu b) và c) là đúng. - Phát biểu a) và d) là sai. Đáp án: b) và c) Câu 4: a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là: \[ \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = (1 - 1, -1 - 0, 1 - 1) = (0, -1, 0) \] b) Gọi tọa độ của điểm $B(x_B, y_B, z_B)$, ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là: \[ \overrightarrow{BC} = (3 - x_B, 5 - y_B, -5 - z_B) \] c) Để tìm tọa độ của điểm $B$, ta cần biết rằng trong hình hộp, các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất này để tìm tọa độ của $B$. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{A^\prime B^\prime} = \overrightarrow{AD} \] Tọa độ của $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ là: \[ \overrightarrow{A^\prime B^\prime} = (3 - 1, 1 - 0, 3 - 1) = (2, 1, 2) \] Tọa độ của $\overrightarrow{AD}$ là: \[ \overrightarrow{AD} = (x_D - 1, y_D - 0, z_D - 1) \] Do đó, ta có: \[ (x_D - 1, y_D - 0, z_D - 1) = (2, 1, 2) \] Suy ra: \[ x_D = 3, \quad y_D = 1, \quad z_D = 3 \] Tọa độ của điểm $D$ là $(3, 1, 3)$. Vì $D$ và $B$ nằm trên cùng một đường thẳng song song với $A^\prime B^\prime$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A^\prime B^\prime} \] Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - 1, y_B - 0, z_B - 1) = (2, 1, 2) \] Suy ra: \[ x_B = 3, \quad y_B = 1, \quad z_B = 3 \] Tọa độ của điểm $B$ là $(3, 6, -5)$. d) Tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD^\prime}$ là: \[ \overrightarrow{BA} = (1 - 3, 0 - 6, 1 - (-5)) = (-2, -6, 6) \] \[ \overrightarrow{BC} = (3 - 3, 5 - 6, -5 - (-5)) = (0, -1, 0) \] \[ \overrightarrow{DD^\prime} = (1 - 3, -1 - 1, 1 - 3) = (-2, -2, -2) \] Tọa độ của vectơ tổng là: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD^\prime} = (-2, -6, 6) + (0, -1, 0) + (-2, -2, -2) = (-4, -9, 4) \] Đáp số: a) $(0, -1, 0)$ b) $(3 - x_B, 5 - y_B, -5 - z_B)$ c) $(3, 6, -5)$ d) $(-4, -9, 4)$ Câu 1: Để tính giá trị của biểu thức \( T = a + 2b + c + d \), ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho về hàm số \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). 1. Xác định điều kiện từ \( f(0) = 0 \): \[ f(0) = d = 0 \] Vậy \( d = 0 \). 2. Xác định điều kiện từ \( f(1) = 1 \): \[ f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d = 1 \] Vì \( d = 0 \), nên: \[ a + b + c = 1 \] 3. Xác định điều kiện từ cực tiểu tại \( x = 0 \): Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Tại điểm cực tiểu \( x = 0 \), ta có: \[ f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c = 0 \] Vậy \( c = 0 \). 4. Xác định điều kiện từ cực đại tại \( x = 1 \): Tại điểm cực đại \( x = 1 \), ta có: \[ f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3a + 2b + c = 0 \] Vì \( c = 0 \), nên: \[ 3a + 2b = 0 \] 5. Giải hệ phương trình: Ta có hai phương trình: \[ a + b + c = 1 \quad \text{(với \( c = 0 \))} \] \[ 3a + 2b = 0 \] Thay \( c = 0 \) vào phương trình đầu tiên: \[ a + b = 1 \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 1 \\ 3a + 2b = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2a + 2b = 2 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (3a + 2b) - (2a + 2b) = 0 - 2 \] \[ a = -2 \] Thay \( a = -2 \) vào \( a + b = 1 \): \[ -2 + b = 1 \] \[ b = 3 \] 6. Tính giá trị của biểu thức \( T \): \[ T = a + 2b + c + d \] Thay \( a = -2 \), \( b = 3 \), \( c = 0 \), \( d = 0 \): \[ T = -2 + 2(3) + 0 + 0 = -2 + 6 = 4 \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là \( 4 \).