Cuuuuu toi vơi b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$,c) Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị là $x_1;x_2.$ Khi đó giá trị $x_1.x_2=-1$,d) Gọi A,BBlần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đđ thh hàm ssố.CCho đim $C(-1;2).$,Khi đó, diện tích tam giác ABC bằng 1,Câu 2: Theo thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh đã trúng tuyển vào lớp 10,năm học 2024 - 2025 của Trường THPT Nguyễn Du được kết quả như bảng sau:,

Khoảng điểm,"[6,5; 7)","[7; 7,5)","[7,5; 8)","[8; 8,5)","[8,5; 9)","[9; 9,5)","[9,5; 10)"
Tần số,7,10,17,24,13,8,5

,a) Giá trị đại diện của nhóm 1 là 6,75,b) Tần số tích luỹ của nhóm 2 là 34,c) Tổng số học sinh tham gia thống kê là 84,d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến chữ số hàng phần chục) là,$\Delta_q=1,1.$,Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a . Đáy ABCD có,tâm là O. Gọi M là trung điểm của cạnh SA ;NN là trung điểm của cạnh BC . Khi đó:,$a)~\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{SO}$,$b)~\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$,$c)~\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}=\frac{a^2}2$,$d)~2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SC}$,Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,ccho hình hộp ABCD.A''C'D''có $A^\prime(1;0;1).$,$B^\prime(3;1;3),~D^\prime(1;-1;1),~C(3;5;-5).$,a) Tọa độ của vectơ $\overline{A^\prime D^\prime}$ là $(0;-1;0).$,b) Gọi tọa độ của điểm $B(x_B;y_B;z_B),$ ta có độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là: $(x_B-3;y_B-5;z_B+5)$,c) Tọa độ của điểm B là $(3;6;-5).$,d) Tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD^\prime}$ là $(-2;-7;6).$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.$ Tính giá trị của biểu thức $T=a+2b+c+d$ biết:,$f(0)=0;f(1)=1$ và hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,$ đạt cực đại tại $x=1.$

Question

Cuuuuu toi vơi b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$,c) Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị là $x_1;x_2.$ Khi đó giá trị $x_1.x_2=-1$,d) Gọi A,BBlần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đđ thh hàm ssố.CCho đim $C(-1;2).$,Khi đó, diện tích tam giác ABC bằng 1,Câu 2: Theo thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh đã trúng tuyển vào lớp 10,năm học 2024 - 2025 của Trường THPT Nguyễn Du được kết quả như bảng sau:,

Khoảng điểm,"[6,5; 7)","[7; 7,5)","[7,5; 8)","[8; 8,5)","[8,5; 9)","[9; 9,5)","[9,5; 10)"
Tần số,7,10,17,24,13,8,5

,a) Giá trị đại diện của nhóm 1 là 6,75,b) Tần số tích luỹ của nhóm 2 là 34,c) Tổng số học sinh tham gia thống kê là 84,d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến chữ số hàng phần chục) là,$\Delta_q=1,1.$,Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a . Đáy ABCD có,tâm là O. Gọi M là trung điểm của cạnh SA ;NN là trung điểm của cạnh BC . Khi đó:,$a)~\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{SO}$,$b)~\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$,$c)~\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}=\frac{a^2}2$,$d)~2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SC}$,Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,ccho hình hộp ABCD.A''C'D''có $A^\prime(1;0;1).$,$B^\prime(3;1;3),~D^\prime(1;-1;1),~C(3;5;-5).$,a) Tọa độ của vectơ $\overline{A^\prime D^\prime}$ là $(0;-1;0).$,b) Gọi tọa độ của điểm $B(x_B;y_B;z_B),$ ta có độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là: $(x_B-3;y_B-5;z_B+5)$,c) Tọa độ của điểm B là $(3;6;-5).$,d) Tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD^\prime}$ là $(-2;-7;6).$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.$ Tính giá trị của biểu thức $T=a+2b+c+d$ biết:,$f(0)=0;f(1)=1$ và hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,$ đạt cực đại tại $x=1.$

Accepted Answer

Câu 2:
a) Giá trị đại diện của nhóm 1 là 6,75

Giá trị đại diện của nhóm 1 là:

$\frac{6,5 + 7}{2} = 6,75$

Đáp án đúng.

b) Tần số tích luỹ của nhóm 2 là 34

Tần số tích luỹ của nhóm 2 là:

7 + 10 = 17

Đáp án sai.

c) Tổng số học sinh tham gia thống kê là 84

Tổng số học sinh tham gia thống kê là:

7 + 10 + 17 + 24 + 13 + 8 + 5 = 84

Đáp án đúng.

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến chữ số hàng phần chục) là $\Delta_q = 1,1$.

Số học sinh là 84, do đó ta tính Q1 và Q3 như sau:

- Vị trí của Q1 là $\frac{84}{4} = 21$, tức là ở nhóm thứ 3 (vì nhóm 1 có 7 học sinh, nhóm 2 có 10 học sinh, tổng là 17 học sinh, nhóm 3 có 17 học sinh, nên Q1 nằm trong nhóm 3).

- Vị trí của Q3 là $\frac{3 \times 84}{4} = 63$, tức là ở nhóm thứ 5 (nhóm 1 có 7 học sinh, nhóm 2 có 10 học sinh, nhóm 3 có 17 học sinh, nhóm 4 có 24 học sinh, tổng là 58 học sinh, nhóm 5 có 13 học sinh, nên Q3 nằm trong nhóm 5).

Ta tính giá trị của Q1 và Q3:

- Q1 = 7,5 + $\frac{(21 - 17)}{17}$ × 0,5 ≈ 7,6

- Q3 = 8,5 + $\frac{(63 - 58)}{13}$ × 0,5 ≈ 8,7

Khoảng tứ phân vị là:

$\Delta_q = Q3 - Q1 = 8,7 - 7,6 = 1,1$

Đáp án đúng.

Đáp số: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Câu 3:
Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai.

a) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{SO}$

- Vì ABCD là hình vuông tâm O, nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ (vì các vectơ này tạo thành một hình vuông tâm O và tổng của chúng là vectơ null). Do đó, phát biểu này sai.

b) $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$

- Ta có:
  - $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{S} + \overrightarrow{C} = 2\overrightarrow{S} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}$
  - $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{S} + \overrightarrow{D} = 2\overrightarrow{S} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}$
  
- Vì ABCD là hình vuông tâm O, nên $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}$. Do đó, phát biểu này đúng.

c) $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = \frac{a^2}{2}$

- Ta biết rằng trong hình chóp đều, góc giữa hai cạnh bên là góc giữa hai đường thẳng từ đỉnh đến hai đỉnh của đáy. 
- Gọi góc giữa $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ là $\theta$.
- Ta có $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{SA}| |\overrightarrow{SB}|}$.
- Vì SA = SB = a, nên $|\overrightarrow{SA}| = |\overrightarrow{SB}| = a$.
- Ta cũng biết rằng trong hình chóp đều, góc giữa hai cạnh bên là 60°, do đó $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
- Vậy $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Do đó, phát biểu này đúng.

d) $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{SC}$

- Ta có:
  - $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{NC})$
  - $\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB})$
  - $\overrightarrow{NC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC})$
  
- Kết hợp lại ta có:
  - $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{NC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC})$
  - $= \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC})$

- Ta thấy rằng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{SC}$ không bằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{SC}$. Do đó, phát biểu này sai.

Kết luận:
- Phát biểu b) và c) là đúng.
- Phát biểu a) và d) là sai.

Đáp án: b) và c)

Câu 4:
a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là:
$$
\overrightarrow{A^\prime D^\prime} = (1 - 1, -1 - 0, 1 - 1) = (0, -1, 0)
$$

b) Gọi tọa độ của điểm $B(x_B, y_B, z_B)$, ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là:
$$
\overrightarrow{BC} = (3 - x_B, 5 - y_B, -5 - z_B)
$$

c) Để tìm tọa độ của điểm $B$, ta cần biết rằng trong hình hộp, các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất này để tìm tọa độ của $B$. Ta biết rằng:
$$
\overrightarrow{A^\prime B^\prime} = \overrightarrow{AD}
$$
Tọa độ của $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ là:
$$
\overrightarrow{A^\prime B^\prime} = (3 - 1, 1 - 0, 3 - 1) = (2, 1, 2)
$$
Tọa độ của $\overrightarrow{AD}$ là:
$$
\overrightarrow{AD} = (x_D - 1, y_D - 0, z_D - 1)
$$
Do đó, ta có:
$$
(x_D - 1, y_D - 0, z_D - 1) = (2, 1, 2)
$$
Suy ra:
$$
x_D = 3, \quad y_D = 1, \quad z_D = 3
$$
Tọa độ của điểm $D$ là $(3, 1, 3)$. Vì $D$ và $B$ nằm trên cùng một đường thẳng song song với $A^\prime B^\prime$, ta có:
$$
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A^\prime B^\prime}
$$
Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là:
$$
\overrightarrow{AB} = (x_B - 1, y_B - 0, z_B - 1) = (2, 1, 2)
$$
Suy ra:
$$
x_B = 3, \quad y_B = 1, \quad z_B = 3
$$
Tọa độ của điểm $B$ là $(3, 6, -5)$.

d) Tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD^\prime}$ là:
$$
\overrightarrow{BA} = (1 - 3, 0 - 6, 1 - (-5)) = (-2, -6, 6)
$$
$$
\overrightarrow{BC} = (3 - 3, 5 - 6, -5 - (-5)) = (0, -1, 0)
$$
$$
\overrightarrow{DD^\prime} = (1 - 3, -1 - 1, 1 - 3) = (-2, -2, -2)
$$
Tọa độ của vectơ tổng là:
$$
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD^\prime} = (-2, -6, 6) + (0, -1, 0) + (-2, -2, -2) = (-4, -9, 4)
$$

Đáp số:
a) $(0, -1, 0)$
b) $(3 - x_B, 5 - y_B, -5 - z_B)$
c) $(3, 6, -5)$
d) $(-4, -9, 4)$

Câu 1:
Để tính giá trị của biểu thức $ T = a + 2b + c + d $, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho về hàm số $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $.

1. Xác định điều kiện từ $ f(0) = 0 $:
   $$
   f(0) = d = 0
   $$
   Vậy $ d = 0 $.

2. Xác định điều kiện từ $ f(1) = 1 $:
   $$
   f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d = 1
   $$
   Vì $ d = 0 $, nên:
   $$
   a + b + c = 1
   $$

3. Xác định điều kiện từ cực tiểu tại $ x = 0 $:
   Ta tính đạo hàm của $ f(x) $:
   $$
   f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
   $$
   Tại điểm cực tiểu $ x = 0 $, ta có:
   $$
   f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c = 0
   $$
   Vậy $ c = 0 $.

4. Xác định điều kiện từ cực đại tại $ x = 1 $:
   Tại điểm cực đại $ x = 1 $, ta có:
   $$
   f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3a + 2b + c = 0
   $$
   Vì $ c = 0 $, nên:
   $$
   3a + 2b = 0
   $$

5. Giải hệ phương trình:
   Ta có hai phương trình:
   $$
   a + b + c = 1 \quad \text{(với $ c = 0 $)}
   $$
   $$
   3a + 2b = 0
   $$
   Thay $ c = 0 $ vào phương trình đầu tiên:
   $$
   a + b = 1
   $$
   Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   a + b = 1 \
   3a + 2b = 0
   \end{cases}
   $$
   Nhân phương trình thứ nhất với 2:
   $$
   2a + 2b = 2
   $$
   Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai:
   $$
   (3a + 2b) - (2a + 2b) = 0 - 2
   $$
   $$
   a = -2
   $$
   Thay $ a = -2 $ vào $ a + b = 1 $:
   $$
   -2 + b = 1
   $$
   $$
   b = 3
   $$

6. Tính giá trị của biểu thức $ T $:
   $$
   T = a + 2b + c + d
   $$
   Thay $ a = -2 $, $ b = 3 $, $ c = 0 $, $ d = 0 $:
   $$
   T = -2 + 2(3) + 0 + 0 = -2 + 6 = 4
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ T $ là $ 4 $.