giải giúo vs

Để giải bài toán tích phân $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Trong bài toán này, tích phân có giới hạn từ 0 đến $\frac{\pi}{3}$, và hàm số $\frac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ không có điểm bất định trong khoảng này, nên ĐKXĐ tự nhiên thỏa mãn. Bước 2: Tính tích phân - Ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi để đơn giản hóa biểu thức trong tích phân: \[ \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos^2 x}{1 + \cos x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} = 1 - \cos x \] Do đó, tích phân trở thành: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} \, dx = \int^{\frac{\pi}{3}}_0 (1 - \cos x) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân từng phần - Tính tích phân của mỗi phần riêng lẻ: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 1 \, dx = \left[ x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3} \] \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin (0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 4: Kết hợp kết quả - Kết hợp hai kết quả trên lại: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 (1 - \cos x) \, dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy, giá trị của tích phân là: \[ \boxed{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}} \]