giúp tui giải vớiiiiiii * Bài tập :,Trong không gian với hệ Oxyz cho $A(1,0,1),~B(-2,1,-2)$,C ( 0,4,1).,a, CMR : 3 điểm A, B, C không thẳng hàng,b, Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình,lành hành.,c, Tìm toạ độ trọng tâm $G~\Delta ABC.$,d, Tính chu vi $\Delta ABC.$,e) Tính cos $\widehat{BAC}$

Question

Accepted Answer

a) Ta có:
$\overrightarrow{AB} = (-3, 1, -3)$
$\overrightarrow{AC} = (-1, 4, 0)$

Ta thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì không tồn tại số thực k nào sao cho $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$. Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần:
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

Ta tính:
$\overrightarrow{BC} = (2, 3, 3)$

Do đó:
$\overrightarrow{AD} = (2, 3, 3)$

Tọa độ điểm D là:
$D = A + \overrightarrow{AD} = (1, 0, 1) + (2, 3, 3) = (3, 3, 4)$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$

Thay tọa độ của A, B, C vào:
$G = \left(\frac{1 + (-2) + 0}{3}, \frac{0 + 1 + 4}{3}, \frac{1 + (-2) + 1}{3}\right) = \left(\frac{-1}{3}, \frac{5}{3}, 0\right)$

d) Chu vi của tam giác ABC:
- Độ dài AB:
$|AB| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 1 + 9} = \sqrt{19}$

- Độ dài BC:
$|BC| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$

- Độ dài AC:
$|AC| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 16 + 0} = \sqrt{17}$

Chu vi của tam giác ABC là:
$P_{ABC} = |AB| + |BC| + |AC| = \sqrt{19} + \sqrt{22} + \sqrt{17}$

e) Ta tính $\cos \widehat{BAC}$:
$\cos \widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}$

Tích vô hướng:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 0 = 3 + 4 + 0 = 7$

Do đó:
$\cos \widehat{BAC} = \frac{7}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{323}}$

Đáp số:
a) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tọa độ điểm D: $(3, 3, 4)$
c) Trọng tâm G: $\left(\frac{-1}{3}, \frac{5}{3}, 0\right)$
d) Chu vi tam giác ABC: $\sqrt{19} + \sqrt{22} + \sqrt{17}$
e) $\cos \widehat{BAC} = \frac{7}{\sqrt{323}}$