giúp em với ạ

Câu 20. A. Đúng vì $\int^b_akf(x)dx=k\int^b_af(x)dx=k(F(b)-F(a))$ B. Sai vì $\int^a_bf(x)dx=-\int^b_af(x)dx=-(F(b)-F(a))=F(a)-F(b)$ C. Sai vì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x=a;x=b;$ đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục hoành được tính theo công thức $S=\left | F(b)-F(a) \right |$ D. Sai vì $\int^b_af(2x+3)dx=\frac{1}{2}F(2x+3)|^b_a$ Câu 21. A. Ta có: \[ \int^1_0 \frac{e^{2x} - 4}{e^x + 2} \, dx = \int^1_0 \frac{(e^x - 2)(e^x + 2)}{e^x + 2} \, dx = \int^1_0 (e^x - 2) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int^1_0 (e^x - 2) \, dx = \left[ e^x - 2x \right]^1_0 = (e^1 - 2 \cdot 1) - (e^0 - 2 \cdot 0) = e - 2 - 1 = e - 3 \] Vậy mệnh đề A đúng. B. Ta có: \[ \int^1_0 \frac{e^x}{2^x} \, dx = \int^1_0 \left(\frac{e}{2}\right)^x \, dx \] Gọi \( k = \frac{e}{2} \), ta có: \[ \int^1_0 k^x \, dx = \left[ \frac{k^x}{\ln k} \right]^1_0 = \frac{k^1 - k^0}{\ln k} = \frac{\frac{e}{2} - 1}{\ln \frac{e}{2}} \] Vì \(\ln \frac{e}{2} = \ln e - \ln 2 = 1 - \ln 2\), nên: \[ \frac{\frac{e}{2} - 1}{1 - \ln 2} \] Mệnh đề B sai vì kết quả không phải là \(\frac{e}{2} + 1\). C. Ta có: \[ \int^2_1 e^x \left(1 - \frac{e^{-x}}{x}\right) \, dx = \int^2_1 \left(e^x - \frac{1}{x}\right) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int^2_1 e^x \, dx - \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx = \left[ e^x \right]^2_1 - \left[ \ln x \right]^2_1 = (e^2 - e^1) - (\ln 2 - \ln 1) = e^2 - e - \ln 2 \] Vậy mệnh đề C đúng. D. Ta có: \[ \int^1_0 \frac{e^{2x-1} - e^{-3x} + 1}{e^x} \, dx = \int^1_0 \left( \frac{e^{2x-1}}{e^x} - \frac{e^{-3x}}{e^x} + \frac{1}{e^x} \right) \, dx = \int^1_0 \left( e^{x-1} - e^{-4x} + e^{-x} \right) \, dx \] Tính từng tích phân: \[ \int^1_0 e^{x-1} \, dx = \left[ \frac{e^{x-1}}{1} \right]^1_0 = e^0 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e} \] \[ \int^1_0 e^{-4x} \, dx = \left[ \frac{e^{-4x}}{-4} \right]^1_0 = -\frac{1}{4}(e^{-4} - 1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^4} \] \[ \int^1_0 e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]^1_0 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \] Tổng lại: \[ 1 - \frac{1}{e} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^4} + 1 - \frac{1}{e} = 2 - \frac{2}{e} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^4} \] Vậy mệnh đề D sai vì kết quả không phải là \(e^4 - 1\). Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai. Câu 22. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{b} (3x^2 - 2ax - 1) \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2ax - 1 \). \[ \int (3x^2 - 2ax - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2ax \, dx - \int 1 \, dx \] Tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int 2ax \, dx = 2a \cdot \frac{x^2}{2} = ax^2 \] \[ \int 1 \, dx = x \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^3 - ax^2 - x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, b]: \[ I = F(b) - F(0) \] Tính \( F(b) \): \[ F(b) = b^3 - ab^2 - b \] Tính \( F(0) \): \[ F(0) = 0^3 - a \cdot 0^2 - 0 = 0 \] Bước 3: Tính tích phân \( I \): \[ I = F(b) - F(0) = (b^3 - ab^2 - b) - 0 = b^3 - ab^2 - b \] Vậy tích phân \( I \) là: \[ I = b^3 - ab^2 - b \]