giúp em với ạ Câu 20. Cho hàm $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ với $a

Question

giúp em với ạ Câu 20. Cho hàm $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ với $a<b$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm,$f(x)$ trên $[a;b].$ Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,$A.~\int^b_akf(x)dx=k(F(b)-F(a))$ $B.~\int^a_bf(x)dx=F(b)-F(a)$,C. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x=a;x=b;$ đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục,hoành được tính theo công thức $S=F(b)-F(a)$,$D.~\int^b_af(2x+3)dx=F(2x+3)|^b_a$,Câu 21. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai,$A.~\int^1_0\frac{e^{2x}-4}{e^x+2}dx=e-3$ $B.~\int^1_0\frac{e^x}{2^x}dx=\frac e2+1$,$C.~\int^2_1e^x(1-\frac{e^{-x}}x)dx=e^2-e-\ln2$ $D.~\int^1_0\frac{e^{2x-1}-e^{-3x}+1}{e^x}dx=e^4-1$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.,Câu 22. Với a,b là các tham số thực. Tính tích phân $I=\int^b_0(3x^2-2ax-1)dx.$

Accepted Answer

Câu 20.
A. Đúng vì $\int^b_akf(x)dx=k\int^b_af(x)dx=k(F(b)-F(a))$

B. Sai vì $\int^a_bf(x)dx=-\int^b_af(x)dx=-(F(b)-F(a))=F(a)-F(b)$

C. Sai vì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x=a;x=b;$ đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục hoành được tính theo công thức $S=\left | F(b)-F(a) \right |$

D. Sai vì $\int^b_af(2x+3)dx=\frac{1}{2}F(2x+3)|^b_a$

Câu 21.
A. Ta có:
$$
\int^1_0 \frac{e^{2x} - 4}{e^x + 2} \, dx = \int^1_0 \frac{(e^x - 2)(e^x + 2)}{e^x + 2} \, dx = \int^1_0 (e^x - 2) \, dx
$$
Tính tích phân:
$$
\int^1_0 (e^x - 2) \, dx = \left[ e^x - 2x \right]^1_0 = (e^1 - 2 \cdot 1) - (e^0 - 2 \cdot 0) = e - 2 - 1 = e - 3
$$
Vậy mệnh đề A đúng.

B. Ta có:
$$
\int^1_0 \frac{e^x}{2^x} \, dx = \int^1_0 \left(\frac{e}{2}\right)^x \, dx
$$
Gọi $ k = \frac{e}{2} $, ta có:
$$
\int^1_0 k^x \, dx = \left[ \frac{k^x}{\ln k} \right]^1_0 = \frac{k^1 - k^0}{\ln k} = \frac{\frac{e}{2} - 1}{\ln \frac{e}{2}}
$$
Vì $\ln \frac{e}{2} = \ln e - \ln 2 = 1 - \ln 2$, nên:
$$
\frac{\frac{e}{2} - 1}{1 - \ln 2}
$$
Mệnh đề B sai vì kết quả không phải là $\frac{e}{2} + 1$.

C. Ta có:
$$
\int^2_1 e^x \left(1 - \frac{e^{-x}}{x}\right) \, dx = \int^2_1 \left(e^x - \frac{1}{x}\right) \, dx
$$
Tính tích phân từng phần:
$$
\int^2_1 e^x \, dx - \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx = \left[ e^x \right]^2_1 - \left[ \ln x \right]^2_1 = (e^2 - e^1) - (\ln 2 - \ln 1) = e^2 - e - \ln 2
$$
Vậy mệnh đề C đúng.

D. Ta có:
$$
\int^1_0 \frac{e^{2x-1} - e^{-3x} + 1}{e^x} \, dx = \int^1_0 \left( \frac{e^{2x-1}}{e^x} - \frac{e^{-3x}}{e^x} + \frac{1}{e^x} \right) \, dx = \int^1_0 \left( e^{x-1} - e^{-4x} + e^{-x} \right) \, dx
$$
Tính từng tích phân:
$$
\int^1_0 e^{x-1} \, dx = \left[ \frac{e^{x-1}}{1} \right]^1_0 = e^0 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}
$$
$$
\int^1_0 e^{-4x} \, dx = \left[ \frac{e^{-4x}}{-4} \right]^1_0 = -\frac{1}{4}(e^{-4} - 1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^4}
$$
$$
\int^1_0 e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]^1_0 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e}
$$
Tổng lại:
$$
1 - \frac{1}{e} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^4} + 1 - \frac{1}{e} = 2 - \frac{2}{e} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^4}
$$
Vậy mệnh đề D sai vì kết quả không phải là $e^4 - 1$.

Kết luận:
- Mệnh đề A đúng.
- Mệnh đề B sai.
- Mệnh đề C đúng.
- Mệnh đề D sai.

Câu 22.
Để tính tích phân $ I = \int_{0}^{b} (3x^2 - 2ax - 1) \, dx $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3x^2 - 2ax - 1 $.

$$
\int (3x^2 - 2ax - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2ax \, dx - \int 1 \, dx
$$

Tính từng phần nguyên hàm:

$$
\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
$$

$$
\int 2ax \, dx = 2a \cdot \frac{x^2}{2} = ax^2
$$

$$
\int 1 \, dx = x
$$

Vậy nguyên hàm của $ f(x) $ là:

$$
F(x) = x^3 - ax^2 - x + C
$$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, b]:

$$
I = F(b) - F(0)
$$

Tính $ F(b) $:

$$
F(b) = b^3 - ab^2 - b
$$

Tính $ F(0) $:

$$
F(0) = 0^3 - a \cdot 0^2 - 0 = 0
$$

Bước 3: Tính tích phân $ I $:

$$
I = F(b) - F(0) = (b^3 - ab^2 - b) - 0 = b^3 - ab^2 - b
$$

Vậy tích phân $ I $ là:

$$
I = b^3 - ab^2 - b
$$