giúp mik với

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). 2. Xác định các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. 3. Xác định giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số tại các điểm cực trị. 4. Tính giá trị của biểu thức \(\frac{1}{9}a + b\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2 + 5x - 2) = 3x^2 - 8x + 5 \] Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị. \[ 3x^2 - 8x + 5 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -8 \), \( c = 5 \): \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ x_2 = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] Bước 3: Xác định giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số tại các điểm cực trị. Tính giá trị của hàm số tại \( x = \frac{5}{3} \) và \( x = 1 \): \[ f\left( \frac{5}{3} \right) = \left( \frac{5}{3} \right)^3 - 4 \left( \frac{5}{3} \right)^2 + 5 \left( \frac{5}{3} \right) - 2 = \frac{125}{27} - \frac{100}{9} + \frac{25}{3} - 2 \] Chuyển tất cả về cùng mẫu số chung là 27: \[ f\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{125}{27} - \frac{300}{27} + \frac{225}{27} - \frac{54}{27} = \frac{125 - 300 + 225 - 54}{27} = \frac{-4}{27} \approx -0.148 \] \[ f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0 \] Vậy giá trị cực đại \( a = 0 \) và giá trị cực tiểu \( b = -\frac{4}{27} \). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \(\frac{1}{9}a + b\). \[ \frac{1}{9}a + b = \frac{1}{9} \cdot 0 + \left( -\frac{4}{27} \right) = -\frac{4}{27} \approx -0.148 \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ -0.148 \approx -0.1 \] Vậy giá trị của biểu thức \(\frac{1}{9}a + b\) là \(-0.1\). Câu 2. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$ trên đoạn $[2;3]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \left( \frac{x^2 - 8x}{x + 1} \right)' = \frac{(x^2 - 8x)'(x + 1) - (x^2 - 8x)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{(2x - 8)(x + 1) - (x^2 - 8x)}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 + 2x - 8x - 8 - x^2 + 8x}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt $y' = 0$: \[ \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 \] Trong đoạn $[2;3]$, ta chỉ xét $x = 2$. Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị - Tại $x = 2$: \[ y(2) = \frac{2^2 - 8 \cdot 2}{2 + 1} = \frac{4 - 16}{3} = \frac{-12}{3} = -4 \] - Tại $x = 3$: \[ y(3) = \frac{3^2 - 8 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{9 - 24}{4} = \frac{-15}{4} = -3.75 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất Các giá trị của hàm số tại các điểm đã xét là: - $y(2) = -4$ - $y(3) = -3.75$ Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là $-3.75$. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$ trên đoạn $[2;3]$ là $-3.75$.