giuo em voi a

Câu 1. Để tìm giới hạn của dãy số $(u_n - v_n)$, ta sử dụng tính chất của giới hạn dãy số. Cụ thể, nếu $\lim u_n = A$ và $\lim v_n = B$, thì $\lim (u_n - v_n) = A - B$. Trong bài này, ta đã biết: \[ \lim u_n = -3 \quad \text{và} \quad \lim v_n = 2 \] Áp dụng tính chất trên, ta có: \[ \lim (u_n - v_n) = \lim u_n - \lim v_n = -3 - 2 = -5 \] Vậy $\lim (u_n - v_n) = -5$. Đáp án đúng là: A. -5. Câu 2. Độ dài cung được tính bằng công thức: \[ I = r \cdot \theta \] trong đó \( r \) là bán kính và \( \theta \) là số đo góc tâm của cung (đơn vị radian). Ở đây, bán kính \( r = 6 \) và số đo góc tâm \( \theta = \frac{\pi}{8} \). Thay vào công thức, ta có: \[ I = 6 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} \] Vậy độ dài cung là: \[ I = \frac{3\pi}{4} \] Đáp án đúng là: A. \( I = \frac{3\pi}{4} \). Câu 3. Để tính điểm trung bình của lớp 11A, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng trung tâm của mỗi nhóm điểm: - Nhóm $[4;7)$: Khoảng trung tâm là $\frac{4 + 7}{2} = 5,5$ - Nhóm $(7;9)$: Khoảng trung tâm là $\frac{7 + 9}{2} = 8$ - Nhóm $[9;10]$: Khoảng trung tâm là $\frac{9 + 10}{2} = 9,5$ 2. Nhân số lượng học sinh trong mỗi nhóm với khoảng trung tâm tương ứng: - Nhóm $[4;7)$: $21 \times 5,5 = 115,5$ - Nhóm $(7;9)$: $15 \times 8 = 120$ - Nhóm $[9;10]$: $9 \times 9,5 = 85,5$ 3. Tính tổng số điểm của tất cả học sinh: \[ 115,5 + 120 + 85,5 = 321 \] 4. Tính tổng số học sinh: \[ 21 + 15 + 9 = 45 \] 5. Tính điểm trung bình của lớp: \[ \text{Điểm trung bình} = \frac{\text{Tổng số điểm}}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{321}{45} \approx 7,13 \] Vậy điểm trung bình của lớp 11A là 7,13. Đáp án đúng là: D. 7,13. Câu 4. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức \( \tan(2x) \) có nghĩa. Biểu thức \( \tan(2x) \) không có nghĩa khi \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \). Bước 1: Xác định điều kiện để \( \tan(2x) \) có nghĩa: \[ 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Bước 2: Giải phương trình \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \): \[ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\}, k \in \mathbb{Z} \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\}, k \in \mathbb{Z} \) Đáp án: A. \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\}, k \in \mathbb{Z} \) Câu 5. Ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số cộng là: \[ u_n = a_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp, - \( n \) là số thứ tự của số hạng. Biết rằng \( a_1 = -5 \) và \( d = 2 \), ta cần tìm số hạng \( n \) sao cho \( u_n = 81 \). Thay vào công thức: \[ 81 = -5 + (n-1) \cdot 2 \] Giải phương trình này: \[ 81 = -5 + 2(n-1) \] \[ 81 = -5 + 2n - 2 \] \[ 81 = 2n - 7 \] \[ 81 + 7 = 2n \] \[ 88 = 2n \] \[ n = \frac{88}{2} \] \[ n = 44 \] Vậy số 81 là số hạng thứ 44 của cấp số cộng. Đáp án đúng là: C. 44. Câu 6. Để xác định được một mặt phẳng duy nhất, chúng ta cần xem xét từng trường hợp: A. Một điểm và một đường thẳng: - Một điểm và một đường thẳng không xác định được một mặt phẳng duy nhất vì có thể có nhiều mặt phẳng đi qua cả điểm đó và đường thẳng đó. B. Bốn điểm phân biệt: - Bốn điểm phân biệt không xác định được một mặt phẳng duy nhất nếu bốn điểm này không đồng phẳng (không nằm trên cùng một mặt phẳng). C. Hai đường thẳng cắt nhau: - Hai đường thẳng cắt nhau xác định được một mặt phẳng duy nhất vì hai đường thẳng cắt nhau luôn nằm trong cùng một mặt phẳng. D. Ba điểm phân biệt: - Ba điểm phân biệt xác định được một mặt phẳng duy nhất nếu ba điểm này không thẳng hàng (không nằm trên cùng một đường thẳng). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có hai trường hợp xác định được một mặt phẳng duy nhất là: - C. Hai đường thẳng cắt nhau. - D. Ba điểm phân biệt (không thẳng hàng). Vậy đáp án đúng là: C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Ba điểm phân biệt (không thẳng hàng). Câu 7. Trước tiên, ta xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với đường thẳng AC. Vì M là trung điểm của AB nên ta có thể suy ra rằng mặt phẳng (P) sẽ chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau. Mặt phẳng (P) cũng cắt đường thẳng BC tại điểm N. Do đó, ta có thể suy ra rằng đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (P). Bây giờ, ta xét các lựa chọn: - A. $MN // BD$: Điều này không đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (P) và BD không nằm trong mặt phẳng (P). - B. $MN // BC$: Điều này không đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (P) và BC không nằm trong mặt phẳng (P). - C. $MN // AC$: Điều này đúng vì mặt phẳng (P) song song với AC và MN nằm trong mặt phẳng (P). - D. $MN // CD$: Điều này không đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (P) và CD không nằm trong mặt phẳng (P). Vậy khẳng định đúng là: C. $MN // AC$. Đáp án: C. $MN // AC$. Câu 8. Để tìm số hạng \( u_1 \) của dãy số \( (u_n) \) với công thức \( u_n = \frac{2\pi^2 - 1}{\pi^2 + 3} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay \( n = 1 \) vào công thức của dãy số: \[ u_1 = \frac{2\pi^2 - 1}{\pi^2 + 3} \] Bước 2: Tính giá trị của \( u_1 \): \[ u_1 = \frac{2\pi^2 - 1}{\pi^2 + 3} \] Ta thấy rằng \( u_1 \) không phụ thuộc vào \( n \), vì công thức của \( u_n \) không thay đổi theo \( n \). Do đó, \( u_1 \) sẽ có cùng giá trị với \( u_n \). Bước 3: Kiểm tra các đáp án đã cho để xác định giá trị đúng của \( u_1 \): A. \( u_1 = -\frac{71}{39} \) B. \( u_1 = \frac{17}{12} \) C. \( u_1 = \frac{7}{4} \) D. \( u_1 = \frac{1}{4} \) Ta thấy rằng giá trị \( \frac{2\pi^2 - 1}{\pi^2 + 3} \) không trùng khớp với bất kỳ giá trị nào trong các đáp án trên. Tuy nhiên, nếu ta giả sử rằng giá trị của \( \pi \) là khoảng 3.14, ta có thể tính toán gần đúng để kiểm tra lại: \[ 2\pi^2 \approx 2 \times (3.14)^2 = 2 \times 9.8596 = 19.7192 \] \[ \pi^2 + 3 \approx 9.8596 + 3 = 12.8596 \] Do đó: \[ u_1 \approx \frac{19.7192 - 1}{12.8596} = \frac{18.7192}{12.8596} \approx 1.455 \] Giá trị này gần đúng với \( \frac{7}{4} = 1.75 \), nhưng không hoàn toàn khớp. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho. Từ các đáp án đã cho, ta thấy rằng giá trị \( \frac{7}{4} \) là gần đúng nhất với giá trị tính toán trên. Vậy đáp án đúng là: C. \( u_1 = \frac{7}{4} \) Đáp số: C. \( u_1 = \frac{7}{4} \) Câu 9. Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm M trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Điều này có nghĩa là M chia đoạn BC thành hai phần với tỉ lệ 2:1. G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó G nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác BCD. Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, với phần gần đỉnh gấp đôi phần gần cạnh đáy. Ta sẽ chứng minh rằng MG song song với mặt phẳng (ABD). 1. Xác định điểm N là trung điểm của đoạn CD. 2. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, nên G nằm trên đường trung tuyến BN và chia BN thành tỉ lệ 2:1. 3. Ta có MB = 2MC, do đó M chia đoạn BC thành tỉ lệ 2:1. 4. Kết hợp các thông tin trên, ta thấy rằng đoạn MG nằm trong mặt phẳng (BCD) và chia đoạn BN thành tỉ lệ 2:1. 5. Mặt khác, đoạn AD cũng nằm trong mặt phẳng (ABD) và không cắt đoạn MG. Do đó, đoạn MG song song với mặt phẳng (ABD). Vậy đáp án đúng là: A. MG song song (ABD). Câu 10. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{8n^3 - 2n^3 + 1}{4n^3 + 2n^2 + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{8n^3 - 2n^3 + 1}{4n^3 + 2n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^3 + 1}{4n^3 + 2n^2 + 1} \] Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $n^3$ để dễ dàng tìm giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^3 + 1}{n^3}}{\frac{4n^3 + 2n^2 + 1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{n^3}}{4 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}} \] Bước 3: Tìm giới hạn của từng thành phần trong biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \left(6 + \frac{1}{n^3}\right) = 6 + 0 = 6 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(4 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}\right) = 4 + 0 + 0 = 4 \] Bước 4: Kết hợp các giới hạn đã tìm được: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{n^3}}{4 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{3}{2}} \] Câu 11. Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? Để tìm trung vị của mẫu số liệu, ta làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số lượng dữ liệu. Tổng số ngày là 20 ngày. Bước 2: Xác định vị trí của trung vị. Vì số lượng dữ liệu là 20 (số chẵn), trung vị sẽ là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí thứ 10 và 11. Bước 3: Xác định các khoảng và số lượng dữ liệu trong mỗi khoảng. - [5;7): 2 ngày - [7;9): 7 ngày - [9;11): 7 ngày - [11;13): 3 ngày - [13;15): 1 ngày Bước 4: Xác định vị trí của trung vị trong các khoảng. - Khoảng [5;7) có 2 ngày, không đủ để bao gồm vị trí thứ 10 và 11. - Khoảng [7;9) có 7 ngày, tổng cộng từ [5;7) và [7;9) là 9 ngày, vẫn chưa đủ để bao gồm vị trí thứ 10 và 11. - Khoảng [9;11) có 7 ngày, tổng cộng từ [5;7), [7;9) và [9;11) là 16 ngày, đủ để bao gồm vị trí thứ 10 và 11. Vậy trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [9;11). Đáp án: Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [9;11).