H/s là viết tắt của học sinh, n là viết tắt của chữ nhau

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các nguyên tắc cơ bản về tổ hợp và sắp xếp. Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp theo yêu cầu của đề bài. a) Các bạn nam đứng cạnh nhau - Xem nhóm 4 bạn nam như một khối duy nhất, vậy ta có 6 khối để sắp xếp (1 khối nam + 5 bạn nữ). - Số cách sắp xếp 6 khối này là \(6!\). - Bên trong khối nam, 4 bạn nam có thể sắp xếp với nhau theo \(4!\) cách. Vậy tổng số cách xếp là: \[ 6! \times 4! = 720 \times 24 = 17280 \] b) Các bạn nữ đứng cạnh nhau - Xem nhóm 5 bạn nữ như một khối duy nhất, vậy ta có 6 khối để sắp xếp (1 khối nữ + 4 bạn nam). - Số cách sắp xếp 6 khối này là \(6!\). - Bên trong khối nữ, 5 bạn nữ có thể sắp xếp với nhau theo \(5!\) cách. Vậy tổng số cách xếp là: \[ 6! \times 5! = 720 \times 120 = 86400 \] c) An và Bình đứng cạnh nhau - Xem An và Bình như một khối duy nhất, vậy ta có 8 khối để sắp xếp (1 khối An-Bình + 4 bạn nam + 3 bạn nữ). - Số cách sắp xếp 8 khối này là \(8!\). - Bên trong khối An-Bình, 2 bạn có thể sắp xếp với nhau theo \(2!\) cách. Vậy tổng số cách xếp là: \[ 8! \times 2! = 40320 \times 2 = 80640 \] d) Đúng 3 bạn nam đứng cạnh nhau - Chọn 3 trong 4 bạn nam để đứng cạnh nhau, số cách chọn là \(\binom{4}{3}\). - Xem nhóm 3 bạn nam như một khối duy nhất, vậy ta có 7 khối để sắp xếp (1 khối 3 nam + 1 nam còn lại + 5 bạn nữ). - Số cách sắp xếp 7 khối này là \(7!\). - Bên trong khối 3 nam, 3 bạn nam có thể sắp xếp với nhau theo \(3!\) cách. Vậy tổng số cách xếp là: \[ \binom{4}{3} \times 7! \times 3! = 4 \times 5040 \times 6 = 120960 \] e) Bạn An đứng giữa 2 bạn nữ - Chọn 2 trong 5 bạn nữ để đứng ở hai bên An, số cách chọn là \(\binom{5}{2}\). - Xem nhóm An và 2 bạn nữ như một khối duy nhất, vậy ta có 7 khối để sắp xếp (1 khối An-2 nữ + 4 bạn nam + 3 bạn nữ còn lại). - Số cách sắp xếp 7 khối này là \(7!\). - Bên trong khối An-2 nữ, 2 bạn nữ có thể sắp xếp với nhau theo \(2!\) cách. Vậy tổng số cách xếp là: \[ \binom{5}{2} \times 7! \times 2! = 10 \times 5040 \times 2 = 100800 \] Kết luận - a) 17280 cách - b) 86400 cách - c) 80640 cách - d) 120960 cách - e) 100800 cách