một khuôn viên hình elip có độ dài trục lớn 90m trục bé 70m. Cần tạo ra vườn hoa hình chữ nhất nội tiếp elip. tính diện tích lớn nhất của vườn hoa

Question

Accepted Answer

Để tính diện tích lớn nhất của vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong elip, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của elip:
   Elip có độ dài trục lớn là 90m và trục bé là 70m. Do đó, bán kính trục lớn $a$ là 45m và bán kính trục bé $b$ là 35m. Phương trình của elip là:
   $$
   \frac{x^2}{45^2} + \frac{y^2}{35^2} = 1
   $$

2. Xác định diện tích của hình chữ nhật nội tiếp:
   Gọi tọa độ của một đỉnh của hình chữ nhật là $(x, y)$. Diện tích $S$ của hình chữ nhật nội tiếp sẽ là:
   $$
   S = 2x \cdot 2y = 4xy
   $$

3. Biểu diễn $y$ theo $x$ từ phương trình elip:
   Từ phương trình elip, ta có:
   $$
   \frac{x^2}{45^2} + \frac{y^2}{35^2} = 1
   $$
   Biểu diễn $y^2$:
   $$
   \frac{y^2}{35^2} = 1 - \frac{x^2}{45^2}
   $$
   $$
   y^2 = 35^2 \left(1 - \frac{x^2}{45^2}\right)
   $$
   $$
   y = 35 \sqrt{1 - \frac{x^2}{45^2}}
   $$

4. Thay $y$ vào diện tích $S$:
   $$
   S = 4x \cdot 35 \sqrt{1 - \frac{x^2}{45^2}} = 140x \sqrt{1 - \frac{x^2}{45^2}}
   $$

5. Tìm giá trị lớn nhất của $S$:
   Để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng. Ta đặt $k = \frac{x}{45}$, do đó $x = 45k$ và $0 \leq k \leq 1$. Thay vào biểu thức diện tích:
   $$
   S = 140 \cdot 45k \sqrt{1 - k^2} = 6300k \sqrt{1 - k^2}
   $$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $f(k) = k \sqrt{1 - k^2}$. Đạo hàm $f(k)$:
   $$
   f'(k) = \sqrt{1 - k^2} + k \cdot \frac{-k}{\sqrt{1 - k^2}} = \sqrt{1 - k^2} - \frac{k^2}{\sqrt{1 - k^2}} = \frac{1 - 2k^2}{\sqrt{1 - k^2}}
   $$

Đặt $f'(k) = 0$:
   $$
   \frac{1 - 2k^2}{\sqrt{1 - k^2}} = 0 \implies 1 - 2k^2 = 0 \implies k^2 = \frac{1}{2} \implies k = \frac{1}{\sqrt{2}}
   $$

Thay $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ vào $f(k)$:
   $$
   f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là:
   $$
   S_{\text{max}} = 6300 \cdot \frac{1}{2} = 3150 \text{ m}^2
   $$

Đáp số: Diện tích lớn nhất của vườn hoa là $3150 \text{ m}^2$.