giúp mình với

Bài 1. a) Ta có: \[ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \] Chúng ta sẽ chứng minh từng phần riêng lẻ. Phần 1: Chứng minh $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{3}$ Nhân tử ở tử và mẫu với $\sqrt{2} - 1$ để có: \[ \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{2 - 1} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \] Phần 2: Chứng minh $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$ Ta thấy: \[ (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \] Do đó: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1 \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1) = 2 \] b) Rút gọn biểu thức $P = \frac{x + 1}{2\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0$, $x \neq 1$. Điều kiện xác định: $x \geq 0$, $x \neq 1$. Ta có: \[ P = \frac{x + 1}{2(\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số: \[ P = \frac{x + 1}{2(\sqrt{x} - 1)} - \frac{2\sqrt{x}}{2(\sqrt{x} - 1)} \] Quy đồng mẫu số: \[ P = \frac{(x + 1) - 2\sqrt{x}}{2(\sqrt{x} - 1)} \] Rút gọn: \[ P = \frac{x + 1 - 2\sqrt{x}}{2(\sqrt{x} - 1)} \] Ta thấy rằng: \[ x + 1 - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} - 1)^2 \] Vậy: \[ P = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{2(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \] Đáp số: \[ P = \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \] Bài 2. a) $\sqrt{x+2}+\sqrt{9x+18}=8$ Điều kiện xác định: $x \geq -2$ Nhận thấy $\sqrt{9x+18} = \sqrt{9(x+2)} = 3\sqrt{x+2}$ Thay vào phương trình: $\sqrt{x+2} + 3\sqrt{x+2} = 8$ $4\sqrt{x+2} = 8$ $\sqrt{x+2} = 2$ $x + 2 = 4$ $x = 2$ Kiểm tra lại điều kiện xác định, $x = 2$ thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$. b) $\frac{1-x}{3} + 1 \leq \frac{2x+1}{2} - x$ Quy đồng mẫu số: $\frac{2(1-x) + 6}{6} \leq \frac{3(2x+1) - 6x}{6}$ $\frac{2 - 2x + 6}{6} \leq \frac{6x + 3 - 6x}{6}$ $\frac{8 - 2x}{6} \leq \frac{3}{6}$ $8 - 2x \leq 3$ $-2x \leq -5$ $x \geq \frac{5}{2}$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq \frac{5}{2}$. Bài 3. Gọi số vé loại I là x (vé, điều kiện: x ≥ 0). Số vé loại II là 575 - x (vé, điều kiện: 575 - x ≥ 0). Tổng số tiền thu được từ bán vé là 47 750 000 đồng, ta có phương trình: 100 000 x + 70 000 (575 - x) = 47 750 000 100 000 x + 70 000 575 - 70 000 x = 47 750 000 30 000 x + 40 250 000 = 47 750 000 30 000 x = 47 750 000 - 40 250 000 30 000 x = 7 500 000 x = 7 500 000 : 30 000 x = 250 Số vé loại II là 575 - 250 = 325 (vé) Đáp số: 250 vé loại I và 325 vé loại II. Bài 4. 1. Diện tích hình tròn lớn (mặt bàn) là: \[ S_{\text{đại}} = \pi \left( \frac{1,2}{2} \right)^2 = \pi \times 0,36 \approx 1,13 \text{ m}^2 \] Diện tích hình tròn nhỏ (phần mặt đá) là: \[ S_{\text{nhỏ}} = \pi \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \pi \times 0,25 \approx 0,79 \text{ m}^2 \] Diện tích phần hình vành khuyên để khảm ốc là: \[ S_{\text{vành}} = S_{\text{đại}} - S_{\text{nhỏ}} \approx 1,13 - 0,79 = 0,34 \text{ m}^2 \] 2. a) Chứng minh $OM \perp AC$ và MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O): - Vì OM song song với BC nên góc OMA = góc OBC (góc so le trong). - Vì BC là dây cung của nửa đường tròn (O) nên góc OBC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, góc OMA = 90°, suy ra OM ⊥ AC. - Tiếp theo, ta cần chứng minh MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Vì OM ⊥ AC và Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A, nên MC cũng là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M. b) Chứng minh $\Delta MAH$ đồng dạng $\Delta ABC$ và $MI = IH$: - Ta có góc MAH = góc BAC (góc chung). - Góc AMH = góc ACB (góc so le trong do OM // BC). - Do đó, $\Delta MAH$ đồng dạng $\Delta ABC$ (góc - góc). - Từ đó, ta có tỉ lệ cạnh: \[ \frac{MA}{AB} = \frac{AH}{AC} \] - Vì OM ⊥ AC và MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M, nên MI = IH (tính chất tiếp tuyến và đường cao hạ từ đỉnh vuông góc xuống cạnh huyền trong tam giác vuông). Đáp số: 1. Diện tích phần hình vành khuyên để khảm ốc là 0,34 m². 2. Chứng minh $\Delta MAH$ đồng dạng $\Delta ABC$ và $MI = IH$. Bài 5. 1. Giải phương trình $x^2-2x-12=\sqrt{2x-1}.$ Điều kiện xác định: $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$ Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức: $(x^2 - 2x - 12)^2 = 2x - 1$ Bước 2: Mở ngoặc và sắp xếp lại phương trình: $x^4 - 4x^3 - 22x^2 + 48x + 144 = 2x - 1$ $x^4 - 4x^3 - 22x^2 + 46x + 145 = 0$ Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc 4 này. Ta thử nghiệm các giá trị x gần với điều kiện xác định: Thử x = 5: $5^4 - 4 \cdot 5^3 - 22 \cdot 5^2 + 46 \cdot 5 + 145 = 625 - 500 - 550 + 230 + 145 = 0$ Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình. Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện xác định: $x = 5 \geq \frac{1}{2}$ (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$. 2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z}$. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\left( \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \right) \left( (2x + y + z) + (x + 2y + z) + (x + y + 2z) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9$ Bước 2: Tính tổng các mẫu số: $(2x + y + z) + (x + 2y + z) + (x + y + 2z) = 4(x + y + z)$ Bước 3: Thay vào bất đẳng thức: $\left( \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \right) \cdot 4(x + y + z) \geq 9$ Bước 4: Chia cả hai vế cho $4(x + y + z)$: $\frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \geq \frac{9}{4(x + y + z)}$ Bước 5: Áp dụng điều kiện $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4 \Rightarrow x + y + z = \frac{3}{4}$ Bước 6: Thay vào biểu thức: $\frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \leq \frac{9}{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3$ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là 3, đạt được khi $x = y = z = \frac{3}{4}$. Đáp số: 1. Nghiệm của phương trình là $x = 5$. 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là 3, đạt được khi $x = y = z = \frac{3}{4}$.