Giúp mình với 2) Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm A nằm ngoài (O). Từ,A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (biết B, C là các tiếp,điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.,a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một,đường tròn.,b) Lấy D là điểm đối xứng với B qua O. Gọi E là giao,điểm của đoạn thẳng AD với (O), (E không trùng với D).,$\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}$ và tính số đo của góc $72C$,Chứng minh:

Question

Accepted Answer

a. Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên
$\displaystyle AB\perp OB\Rightarrow \widehat{ABO} =90^{0}$
Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C nên
$\displaystyle AC\perp OC\Rightarrow \widehat{ACO} =90^{0}$
Xét tứ giác ABOC có $\displaystyle \widehat{ABO} +\widehat{ACO} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$
Mà $\displaystyle \widehat{ABO} ,\widehat{ACO}$ nằm ở vị trí đối diện nhau
$\displaystyle \Rightarrow $Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO
$\displaystyle \Rightarrow $4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn
b. Do E thuộc đường tròn (O) đường kính BD và $\displaystyle \widehat{BED}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BED} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow BE\perp ED$ hay $\displaystyle BE\perp AD$
Ta có $\displaystyle \widehat{ABE} +\widehat{EBD} =90^{0}$
và $\displaystyle \widehat{EBD} +\widehat{BDE} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{ABE} =\widehat{BDE}$
Xét $\displaystyle \vartriangle AEB$ và $\displaystyle \vartriangle BED$ có
$\displaystyle \widehat{AEB} =\widehat{BED} =90^{0} ,\widehat{ABE} =\widehat{BDE}$
Suy ra $\displaystyle \vartriangle AEB\ \backsim \ \vartriangle BED$ (góc - góc)
$\displaystyle \Rightarrow \frac{EB}{ED} =\frac{AB}{BD}$ hay $\displaystyle \frac{ED}{EB} =\frac{BD}{AB}$
Ta có $\displaystyle \widehat{ABC} +\widehat{CBD} =90^{0}$ (1)
Do C thuộc đường tròn (O) đường kính BD và $\displaystyle \widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BCD} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle \widehat{CBD} +\widehat{CDB} =90^{0}$ (2)
Từ (1) và (2) $\displaystyle \Rightarrow \widehat{ABC} =\widehat{CDB}$
Do AB, AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính BD cắt nhau tại A
$\displaystyle \Rightarrow AB=AC$
$\displaystyle \Rightarrow $A nằm trên đường trung trực của BC (3)
Do B, C cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BD
$\displaystyle \Rightarrow OB=OC$
$\displaystyle \Rightarrow $O thuộc đường trung trực của BC (4)
Từ (3) và (4) $\displaystyle \Rightarrow $AO là đường trung trực của BC
$\displaystyle \Rightarrow AO\perp BC$
Mà AO và BC cắt nhau tại H
$\displaystyle \Rightarrow AO\perp BC$ tại H
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AHB} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \vartriangle AHB$ và $\displaystyle \vartriangle BCD$ có
$\displaystyle \widehat{AHB} =\widehat{BCD} =90^{0} ,\widehat{ABH} =\widehat{BDC}$
Suy ra $\displaystyle \vartriangle AHB\ \backsim \ \vartriangle BCD$ (góc - góc)
$\displaystyle \Rightarrow \frac{HB}{CD} =\frac{AB}{BD}$ hay $\displaystyle \frac{CD}{HB} =\frac{BD}{AB}$
Mà $\displaystyle \frac{ED}{EB} =\frac{BD}{AB}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{CD}{HB} =\frac{ED}{EB}$
Ta có $\displaystyle \widehat{BEC} =\frac{1}{2} \ sd\ \hat{BC}$ (góc nội tiếp chắn cung BC)
Và $\displaystyle \widehat{BDC} =\frac{1}{2} \ sd\ \hat{BC}$ (góc nội tiếp chắn cung BC)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BEC} =\widehat{BDC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle DCE$ và $\displaystyle \vartriangle BHE$ có
$\displaystyle \frac{DC}{BH} =\frac{DE}{BE} ,\ \widehat{CDE} =\widehat{HBE}$
Suy ra $\displaystyle \vartriangle DCE\ \backsim \ \vartriangle BHE$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{DEC} =\widehat{BEH}$
Ta có $\displaystyle \widehat{BEH} +\widehat{HED} =\widehat{BED} =90^{0}$
Mà $\displaystyle \widehat{DEC} =\widehat{BEH}$
$\displaystyle \widehat{DEC} +\widehat{HED} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HEC} =90^{0}$