giúp tôi với

Câu 10: Để tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là (-1, 4) và tọa độ của điểm B là (3, -5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) \] \[ \overrightarrow{BA} = (-1 - 3, 4 - (-5)) \] \[ \overrightarrow{BA} = (-1 - 3, 4 + 5) \] \[ \overrightarrow{BA} = (-4, 9) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là (-4, 9). Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{BA}(-4;9)$. Câu 11: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rằng đẳng thức $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ xảy ra khi hai vectơ này có cùng hướng và cùng độ dài. - Hình bình hành: Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, nếu ABCD là hình bình hành, thì $\overrightarrow{AB}$ sẽ có cùng hướng và cùng độ dài với $\overrightarrow{CD}$, tức là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. - Hình thang: Trong hình thang, chỉ có một cặp cạnh đối diện song song. Nếu ABCD là hình thang (không là hình bình hành), thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có thể có cùng hướng nhưng không chắc chắn có cùng độ dài, do đó không đảm bảo $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. - Hình thang (không là hình bình hành): Tương tự như trên, trong trường hợp này cũng không đảm bảo $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ vì chỉ có một cặp cạnh đối diện song song. - Hình bình hành: Như đã nói ở trên, trong hình bình hành, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ sẽ có cùng hướng và cùng độ dài, đảm bảo $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Do đó, đẳng thức $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ xảy ra khi ABCD là hình bình hành. Đáp án đúng là: A. ABCD là hình bình hành. Câu 12: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chữ nhật ABCD, các cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một: A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ khác nhau, chúng không cùng hướng và không cùng độ dài. B. $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$ - Điều này đúng vì AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật, và trong hình chữ nhật, hai đường chéo luôn bằng nhau. C. $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ khác nhau, chúng không cùng hướng và không cùng độ dài. D. $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| + |\overrightarrow{AB}|$ - Điều này sai vì $|\overrightarrow{AC}|$ là độ dài đường chéo của hình chữ nhật, còn $|\overrightarrow{AD}| + |\overrightarrow{AB}|$ là tổng độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật. Độ dài đường chéo không bằng tổng độ dài hai cạnh kề. Vậy đẳng thức đúng là: B. $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$ Đáp án: B. $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$ Câu 13: Câu hỏi: Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi M trùng với D. B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC. C. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ với mọi điểm M. D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với mọi điểm M. Câu trả lời: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một: A. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi M trùng với D. - Ta có $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ khi M trùng với D. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC. - Trọng tâm của tam giác ABC là điểm M sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ với mọi điểm M. - Ta có $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}$ với mọi điểm M. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với mọi điểm M. - Ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$ với mọi điểm M. Do đó, mệnh đề này đúng. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, ta cần tìm mệnh đề sai. Vì tất cả các mệnh đề đều đúng, nên không có mệnh đề nào sai. Đáp án: Không có mệnh đề sai. Câu 14: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình bình hành ABCD, tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB} \] Ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và hình bình hành để giải quyết bài toán này. Trong hình bình hành ABCD, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Do đó, ta có thể viết: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB} \] Ta sẽ chuyển đổi biểu thức này bằng cách sử dụng tính chất của vectơ: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB} \] Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} \] \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} \] Vì O là trung điểm của AC, nên: \[ \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} \] Thay vào biểu thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{OA}) \] \[ = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{MO} - \overrightarrow{OA} \] \[ = 2\overrightarrow{MO} \] Do đó: \[ 2\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{AB} \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{MO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Điều này có nghĩa là M phải là trung điểm của đoạn thẳng OA. Vậy đáp án đúng là: C. M là trung điểm OA. Câu 15: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xác định xem đẳng thức nào là sai. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ Theo tính chất của trọng tâm G trong tam giác ABC, ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] Nhân cả hai vế với 3, ta được: \[ 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} \] Đẳng thức này không đúng vì nó không giống với $\frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$. Vậy đẳng thức A là sai. B. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ Theo tính chất của trọng tâm G, tổng các vectơ từ G đến các đỉnh của tam giác ABC bằng vectơ null: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] Đẳng thức này đúng. C. $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}, \forall M$ Theo tính chất của trọng tâm G, ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \] Đẳng thức này đúng. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{GB}, \forall M$ Ta có thể viết lại các vectơ như sau: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} \] \[ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BC} \] Thay vào đẳng thức: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{GB} \] Simplifying the left side: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{GB} \] Đẳng thức này đúng. Vậy đẳng thức sai là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ Đáp án: A. Câu 16: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Điều kiện xác định ở đây là các vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, và $\overrightarrow{MC}$ đều phải được xác định, tức là M phải nằm trong cùng một mặt phẳng với A, B, và C. 2. Phân tích điều kiện đã cho: - Ta có $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$. - Biểu thức $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}|$ là độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$. - Biểu thức $|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$ là độ dài của vectơ hiệu $\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}$. 3. Xét trường hợp đặc biệt: - Nếu M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC, thì $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}$, do đó $\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MB}$. - Điều này dẫn đến $|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| = 2|\overrightarrow{MB}|$. 4. Xét vectơ tổng: - Ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$. Để dễ dàng hơn, ta xét trường hợp M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC, tức là M cách đều B và C. - Khi đó, $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}$, và $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$ sẽ là vectơ từ A đến M cộng với vectơ từ B đến M. 5. Kiểm tra các đáp án: - A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC. - Điều này đúng vì nếu M nằm trên đường trung trực của BC, thì $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}$, và $|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| = 2|\overrightarrow{MB}|$. - B. Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AC. - Điều này sai vì không liên quan đến điều kiện ban đầu. - C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng qua trung điểm của AB. - Điều này sai vì không liên quan đến điều kiện ban đầu. - D. Tập hợp điểm M là đường tròn (C), có tâm I là trung điểm của AB, bán kính $R = \frac{BC}{2}$. - Điều này sai vì không liên quan đến điều kiện ban đầu. Vậy, tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$ là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Đáp án: A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Câu 17: Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của các điểm M và N. M là trung điểm của AB, do đó tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \] N là trung điểm của AC, do đó tọa độ của N là: \[ N = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \] Tuy nhiên, vì tọa độ của điểm A chưa được cung cấp, ta sẽ giả sử rằng tọa độ của điểm A là (x_A, y_A). Bây giờ, ta tính tọa độ của \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{x_A + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} - \frac{y_A + y_B}{2} \right) \] \[ \overrightarrow{MN} = \left( \frac{x_A + x_C - x_A - x_B}{2}, \frac{y_A + y_C - y_A - y_B}{2} \right) \] \[ \overrightarrow{MN} = \left( \frac{x_C - x_B}{2}, \frac{y_C - y_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của B và C vào: \[ \overrightarrow{MN} = \left( \frac{11 - 9}{2}, \frac{-1 - 7}{2} \right) \] \[ \overrightarrow{MN} = \left( \frac{2}{2}, \frac{-8}{2} \right) \] \[ \overrightarrow{MN} = (1, -4) \] Vậy tọa độ của \(\overrightarrow{MN}\) là (1, -4). Đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{MN} = (1, -4)\). Câu 18: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. A. Điểm A nằm giữa B và C. - Ta thấy rằng tọa độ của điểm A là (-1, 5), điểm B là (5, 5) và điểm C là (-1, 11). - Điểm A và điểm C có cùng hoành độ là -1, nhưng tung độ khác nhau. Do đó, điểm A không nằm giữa B và C theo ý nghĩa thông thường của "nằm giữa". B. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương. - Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là $(5 - (-1), 5 - 5) = (6, 0)$. - Vector $\overrightarrow{AC}$ có tọa độ là $(-1 - (-1), 11 - 5) = (0, 6)$. - Hai vector này không cùng phương vì chúng không song song hoặc trùng nhau. C. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. - Như đã chứng minh ở trên, $\overrightarrow{AB} = (6, 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (0, 6)$ không cùng phương. D. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương. - Vector $\overrightarrow{BC}$ có tọa độ là $(5 - (-1), 11 - 5) = (6, 6)$. - Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là $(6, 0)$. - Hai vector này không cùng phương vì chúng không song song hoặc trùng nhau. Từ những phân tích trên, khẳng định đúng là: C. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.