cho tam giác ABC vuông tại A , có trong tâm G , AC =3 CĂN 3 , BC=6 .M là trung điểm BC .tính vecto AG.vecto CM

Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC vuông tại A. - AC = 3√3. - BC = 6. - M là trung điểm của BC. - G là trọng tâm của tam giác ABC. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. - Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có thể đặt A ở gốc tọa độ (0, 0). - Đặt C ở (3√3, 0). - Ta cần tìm tọa độ của B. Vì BC = 6 và tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng Pythagoras để tìm AB: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] \[ AB^2 + (3√3)^2 = 6^2 \] \[ AB^2 + 27 = 36 \] \[ AB^2 = 9 \] \[ AB = 3 \] Do đó, tọa độ của B là (0, 3). Bước 2: Tìm tọa độ của M (trung điểm của BC). - Tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{3√3 + 0}{2}, \frac{0 + 3}{2} \right) = \left( \frac{3√3}{2}, \frac{3}{2} \right) \] Bước 3: Tìm tọa độ của G (trọng tâm của tam giác ABC). - Trọng tâm G của tam giác ABC là trung điểm của các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Do đó: \[ G = \left( \frac{0 + 3√3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = \left( √3, 1 \right) \] Bước 4: Tính vectơ AG và vectơ CM. - Vectơ AG: \[ \overrightarrow{AG} = G - A = (√3 - 0, 1 - 0) = (√3, 1) \] - Vectơ CM: \[ \overrightarrow{CM} = M - C = \left( \frac{3√3}{2} - 3√3, \frac{3}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{3√3}{2}, \frac{3}{2} \right) \] Bước 5: Tính tích vô hướng của vectơ AG và vectơ CM. \[ \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{CM} = (√3, 1) \cdot \left( -\frac{3√3}{2}, \frac{3}{2} \right) \] \[ = √3 \cdot \left( -\frac{3√3}{2} \right) + 1 \cdot \frac{3}{2} \] \[ = -\frac{9}{2} + \frac{3}{2} \] \[ = -\frac{6}{2} \] \[ = -3 \] Vậy, tích vô hướng của vectơ AG và vectơ CM là \(-3\).