Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm 2 đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC tại P, Q a) AP= PQ= QC b) Tứ giác MPNQ là hì...

Bài 8. a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC nên AM = ND. Mà ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Do đó, AM // BN và AM = BN. Từ đó suy ra tứ giác AMBN là hình bình hành. Suy ra AN // MB. Ta có AN // MB và AQ // BP (vì ABCD là hình bình hành) nên tam giác AQN đồng dạng với tam giác CPM (g-g). Suy ra $\frac{AQ}{CP} = \frac{AN}{MB}$. Mà AN = MB nên $\frac{AQ}{CP} = 1$. Suy ra AQ = CP. Mặt khác, ta có AN // MB và AO = OC (vì O là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành) nên tam giác AON đồng dạng với tam giác CON (g-g). Suy ra $\frac{AO}{OC} = \frac{AN}{MB}$. Mà AO = OC nên $\frac{AN}{MB} = 1$. Suy ra AN = MB. Từ đó suy ra AQ = CP. Vậy AP = PQ = QC. b) Ta có AN // MB và AO = OC nên tam giác AON đồng dạng với tam giác CON (g-g). Suy ra $\frac{AO}{OC} = \frac{AN}{MB}$. Mà AO = OC nên $\frac{AN}{MB} = 1$. Suy ra AN = MB. Từ đó suy ra AQ = CP. Mặt khác, ta có AN // MB và AQ = CP nên tứ giác MPNQ là hình bình hành. c) Để MPNQ là hình chữ nhật thì tứ giác MPNQ phải là hình bình hành và có một góc vuông. Ta có tứ giác MPNQ là hình bình hành nên để MPNQ là hình chữ nhật thì cần có $\widehat{MPN} = 90^\circ$. Ta có $\widehat{MPN} = \widehat{BPC}$ (đối đỉnh). Mà $\widehat{BPC} = 90^\circ$ khi và chỉ khi $\widehat{BAC} = 90^\circ$. Từ đó suy ra $\widehat{BAC} = 90^\circ$. Vậy để MPNQ là hình chữ nhật thì cần có $\widehat{BAC} = 90^\circ$. d) Để MPNQ là hình thoi thì tứ giác MPNQ phải là hình bình hành và có hai đường chéo vuông góc với nhau. Ta có tứ giác MPNQ là hình bình hành nên để MPNQ là hình thoi thì cần có MN ⊥ PQ. Ta có MN ⊥ PQ khi và chỉ khi MN ⊥ AC. Mà MN // BD (vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC) nên MN ⊥ AC khi và chỉ khi BD ⊥ AC. Từ đó suy ra BD ⊥ AC. Vậy để MPNQ là hình thoi thì cần có BD ⊥ AC. e) Để MPNQ là hình vuông thì tứ giác MPNQ phải là hình bình hành, có một góc vuông và hai đường chéo vuông góc với nhau. Ta có tứ giác MPNQ là hình bình hành và có một góc vuông nên để MPNQ là hình vuông thì cần có BD ⊥ AC. Mà BD ⊥ AC khi và chỉ khi ABCD là hình vuông. Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Vậy để MPNQ là hình vuông thì cần có ABCD là hình vuông.