giúp tớ với

1.1 Thực hiện phép tính: \[ \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} + 3\sqrt{2} \] Đầu tiên, ta có thể làm đơn giản biểu thức $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ bằng cách nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{5} - \sqrt{2}$: \[ \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} - \sqrt{2} \] Tiếp theo, ta xét biểu thức $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Ta nhận thấy rằng: \[ 6 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1 \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{5} - \sqrt{2} - (\sqrt{5} - 1) + 3\sqrt{2} = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} + 1 + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 1 \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ 2\sqrt{2} + 1 \] 1.2 Cho biểu thức $P = \left( \frac{1}{x - 3\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 6\sqrt{x} + 9}$, với $x > 0$ và $x \neq 9$. a) Rút gọn biểu thức $P$: Ta có: \[ P = \left( \frac{1}{x - 3\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 6\sqrt{x} + 9} \] Nhận thấy rằng $x - 6\sqrt{x} + 9 = (\sqrt{x} - 3)^2$, ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 3)^2} \] Rút gọn phần trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] Do đó: \[ P = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 3)^2} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \cdot \frac{(\sqrt{x} - 3)^2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}} \] Vậy: \[ P = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} \] b) Tính $P$ khi $x = 16$: \[ P = \frac{\sqrt{16} - 3}{\sqrt{16}} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4} \] Vậy kết quả là: \[ P = \frac{1}{4} \] Bài 2 a) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \). Phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng: \[ \frac{1}{x+1} - \frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{3x}{(x+1)(x^2 - x + 1)}. \] Quy đồng mẫu số và nhân cả hai vế với \((x+1)(x^2 - x + 1)\): \[ (x^2 - x + 1) - x(x + 1) = 3x. \] Rút gọn: \[ x^2 - x + 1 - x^2 - x = 3x, \] \[ -2x + 1 = 3x, \] \[ 1 = 5x, \] \[ x = \frac{1}{5}. \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = \frac{1}{5} \neq -1 \), nên nghiệm này thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm \( x = \frac{1}{5} \). b) Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \). Từ phương trình thứ nhất: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4, \] \[ \frac{x + y}{xy} = 4, \] \[ x + y = 4xy. \quad \text{(1)} \] Từ phương trình thứ hai: \[ 4y + 1 = \frac{2 - y}{x}, \] \[ 4yx + x = 2 - y, \] \[ 4yx + x + y = 2. \quad \text{(2)} \] Thay \( x + y = 4xy \) vào phương trình (2): \[ 4yx + 4xy = 2, \] \[ 8xy = 2, \] \[ xy = \frac{1}{4}. \] Thay \( xy = \frac{1}{4} \) vào phương trình (1): \[ x + y = 4 \cdot \frac{1}{4}, \] \[ x + y = 1. \] Ta có hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ xy = \frac{1}{4} \end{array}\right. \] Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t^2 - (x+y)t + xy = 0, \] \[ t^2 - t + \frac{1}{4} = 0, \] \[ (t - \frac{1}{2})^2 = 0, \] \[ t = \frac{1}{2}. \] Vậy \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \). Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = \frac{1}{2} \neq 0 \) và \( y = \frac{1}{2} \neq 0 \), nên nghiệm này thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \).