có vẽ hình, trình bày đầy đủ cả 4 câu.

1. Chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác ADC là tam giác vuông cân. - Ta có \( AB = AC \) nên tam giác ABC là tam giác cân tại A. - \( AD \perp BC \) nên \( \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \). - Vì tam giác ABC cân tại A và \( AD \) là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, nên \( AD \) cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của góc BAC. - Do đó, \( BD = DC \) và \( \angle BAD = \angle CAD \). - Vậy tam giác ABD và tam giác ADC đều là tam giác vuông cân tại D. 2. Chứng minh rằng tam giác AEB và tam giác AEC là tam giác vuông. - Ta có \( \angle AEB = 90^\circ \) (theo đề bài). - Vì \( AD \perp BC \), nên \( \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \). - \( E \) nằm trên \( AD \), do đó \( \angle AEC = 90^\circ \) (vì \( \angle AEB = 90^\circ \) và \( E \) nằm trên \( AD \)). - Vậy tam giác AEB và tam giác AEC đều là tam giác vuông tại E. 3. Gọi O là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn BC. - Ta đã chứng minh \( BD = DC \) ở phần 1. - \( E \) nằm trên \( AD \), do đó \( \angle AEB = 90^\circ \) và \( \angle AEC = 90^\circ \). - Vì \( \angle AEB = 90^\circ \) và \( \angle AEC = 90^\circ \), nên \( E \) là điểm chính giữa của đoạn thẳng \( BC \). - Do đó, \( O \) là giao điểm của \( AE \) và \( BC \), và \( O \) là trung điểm của \( BC \). 4. Chứng minh rằng tứ giác AODB là tứ giác nội tiếp. - Ta có \( \angle ADB = 90^\circ \) (vì \( AD \perp BC \)). - \( \angle AOB = 90^\circ \) (vì \( O \) là trung điểm của \( BC \) và \( E \) nằm trên \( AD \)). - Vì \( \angle ADB = 90^\circ \) và \( \angle AOB = 90^\circ \), nên tứ giác AODB có tổng các góc đối bằng 180°. - Vậy tứ giác AODB là tứ giác nội tiếp. Đáp số: 1. Tam giác ABD và tam giác ADC là tam giác vuông cân. 2. Tam giác AEB và tam giác AEC là tam giác vuông. 3. O là trung điểm của đoạn BC. 4. Tứ giác AODB là tứ giác nội tiếp.