fuhdhshsfjjs

Câu 21: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức và tính giới hạn. Trước tiên, ta cần tìm điều kiện để giới hạn tồn tại. Ta thấy rằng khi \( x \to 2 \), mẫu số \( x - 2 \) tiến đến 0. Để giới hạn tồn tại, tử số \( ax^2 + bx - 2 \) cũng phải tiến đến 0 khi \( x \to 2 \). Do đó, ta có: \[ a(2)^2 + b(2) - 2 = 0 \] \[ 4a + 2b - 2 = 0 \] \[ 4a + 2b = 2 \] \[ 2a + b = 1 \quad \text{(1)} \] Bây giờ, ta sẽ chia tử số \( ax^2 + bx - 2 \) cho \( x - 2 \) để tìm giới hạn. Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ ax^2 + bx - 2 = (x - 2)(Ax + B) + C \] Ta cần tìm \( A \), \( B \), và \( C \) sao cho: \[ ax^2 + bx - 2 = Ax^2 + Bx - 2Ax - 2B + C \] \[ ax^2 + bx - 2 = Ax^2 + (B - 2A)x - 2B + C \] So sánh hệ số tương ứng, ta có: \[ A = a \] \[ B - 2A = b \] \[ -2B + C = -2 \] Từ \( A = a \), ta thay vào \( B - 2A = b \): \[ B - 2a = b \] \[ B = b + 2a \] Thay \( B = b + 2a \) vào \( -2B + C = -2 \): \[ -2(b + 2a) + C = -2 \] \[ -2b - 4a + C = -2 \] \[ C = 2b + 4a - 2 \] Do đó, ta có: \[ ax^2 + bx - 2 = (x - 2)(ax + b + 2a) + 2b + 4a - 2 \] Giới hạn của biểu thức khi \( x \to 2 \) là: \[ \lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \left( ax + b + 2a + \frac{2b + 4a - 2}{x - 2} \right) \] Để giới hạn tồn tại và bằng 5, ta cần: \[ 2b + 4a - 2 = 0 \] \[ 2b + 4a = 2 \] \[ b + 2a = 1 \quad \text{(2)} \] Ta đã có hai phương trình: \[ 2a + b = 1 \quad \text{(1)} \] \[ b + 2a = 1 \quad \text{(2)} \] Phương trình (1) và (2) là cùng một phương trình, do đó ta có: \[ 2a + b = 1 \] Bây giờ, ta cần tính giá trị biểu thức \( S = a + 2b \). Từ phương trình \( 2a + b = 1 \), ta có: \[ b = 1 - 2a \] Thay vào biểu thức \( S \): \[ S = a + 2(1 - 2a) \] \[ S = a + 2 - 4a \] \[ S = 2 - 3a \] Vậy giá trị biểu thức \( S = 2 - 3a \). Đáp số: \( S = 2 - 3a \). Câu 22: Để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$, ta cần có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Trước tiên, ta tính $\lim_{x \to 1} f(x)$ khi $x \neq 1$: \[ f(x) = \frac{\sqrt[3]{6x-5} - \sqrt{4x-3}}{(x-1)^2} \] Ta sẽ tính giới hạn của tử số và mẫu số khi $x \to 1$: \[ \lim_{x \to 1} (\sqrt[3]{6x-5}) = \sqrt[3]{6 \cdot 1 - 5} = \sqrt[3]{1} = 1 \] \[ \lim_{x \to 1} (\sqrt{4x-3}) = \sqrt{4 \cdot 1 - 3} = \sqrt{1} = 1 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} (\sqrt[3]{6x-5} - \sqrt{4x-3}) = 1 - 1 = 0 \] Mẫu số khi $x \to 1$ là: \[ \lim_{x \to 1} (x-1)^2 = (1-1)^2 = 0 \] Như vậy, ta có dạng không xác định $\frac{0}{0}$. Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để giải quyết dạng này. Nhân lượng liên hợp: \[ \sqrt[3]{6x-5} - \sqrt{4x-3} = \frac{(\sqrt[3]{6x-5} - \sqrt{4x-3})(\sqrt[3]{(6x-5)^2} + \sqrt[3]{6x-5}\sqrt{4x-3} + \sqrt{(4x-3)^2})}{\sqrt[3]{(6x-5)^2} + \sqrt[3]{6x-5}\sqrt{4x-3} + \sqrt{(4x-3)^2}} \] Tử số trở thành: \[ (\sqrt[3]{6x-5})^3 - (\sqrt{4x-3})^3 = (6x-5) - (4x-3) = 2x - 2 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2x-2}{(x-1)^2 (\sqrt[3]{(6x-5)^2} + \sqrt[3]{6x-5}\sqrt{4x-3} + \sqrt{(4x-3)^2})} \] Khi $x \to 1$, ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 (\sqrt[3]{(6x-5)^2} + \sqrt[3]{6x-5}\sqrt{4x-3} + \sqrt{(4x-3)^2})} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{(x-1) (\sqrt[3]{(6x-5)^2} + \sqrt[3]{6x-5}\sqrt{4x-3} + \sqrt{(4x-3)^2})} \] Khi $x \to 1$, ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2}{(x-1) (\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} \cdot 1 + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{(x-1) (1 + 1 + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{3(x-1)} \] Khi $x \to 1$, ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2}{3(x-1)} = \frac{2}{3 \cdot 0} = \frac{2}{0} \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{2}{3} \] Để hàm số liên tục tại $x = 1$, ta cần: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] \[ \frac{2}{3} = 2024m \] Giải phương trình: \[ m = \frac{2}{3 \cdot 2024} = \frac{2}{6072} = \frac{1}{3036} \] Vậy giá trị của tham số $m$ là: \[ m = \frac{1}{3036} \]