Giúp e phần này với ạ

Câu 1: Để tìm giao điểm \( A \) của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( P \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng \( d \): Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z}{2} \] Ta đặt tham số \( t \): \[ x = 2t + 1, \quad y = t + 3, \quad z = 2t \] 2. Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng \( P \): Mặt phẳng \( P \) có phương trình: \[ x + 2y - 4z + 5 = 0 \] Thay \( x = 2t + 1 \), \( y = t + 3 \), \( z = 2t \) vào phương trình mặt phẳng: \[ (2t + 1) + 2(t + 3) - 4(2t) + 5 = 0 \] \[ 2t + 1 + 2t + 6 - 8t + 5 = 0 \] \[ 2t + 2t - 8t + 1 + 6 + 5 = 0 \] \[ -4t + 12 = 0 \] \[ -4t = -12 \] \[ t = 3 \] 3. Tìm tọa độ giao điểm \( A \): Thay \( t = 3 \) vào phương trình tham số của đường thẳng \( d \): \[ x = 2(3) + 1 = 7 \] \[ y = 3 + 3 = 6 \] \[ z = 2(3) = 6 \] Vậy tọa độ giao điểm \( A \) là \( (7, 6, 6) \). 4. Tính cao độ điểm \( A \): Cao độ của điểm \( A \) là tọa độ \( z \)-của nó, tức là: \[ z = 6 \] Vậy cao độ của điểm \( A \) là \( 6 \). Câu 2: Câu 1: Tính $\int^1_0 f(3x-1) \, dx$ Để tính $\int^1_0 f(3x-1) \, dx$, ta thực hiện phép đổi biến số. Gọi $u = 3x - 1$. Khi đó: - Khi $x = 0$, ta có $u = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. - Khi $x = 1$, ta có $u = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Tính vi phân $du$: \[ du = 3 \, dx \] \[ dx = \frac{1}{3} \, du \] Do đó: \[ \int^1_0 f(3x-1) \, dx = \int^{-1}_2 f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int^{-1}_2 f(u) \, du \] Ta biết rằng: \[ \int^0_{-1} f(x) \, dx = 9 \] \[ \int^2_0 f(x) \, dx = 10 \] Vậy: \[ \int^{-1}_2 f(u) \, du = \int^{-1}_0 f(u) \, du + \int^0_2 f(u) \, du \] Nhận thấy rằng: \[ \int^{-1}_0 f(u) \, du = \int^0_{-1} f(x) \, dx = 9 \] \[ \int^0_2 f(u) \, du = \int^2_0 f(x) \, dx = 10 \] Do đó: \[ \int^{-1}_2 f(u) \, du = 9 + 10 = 19 \] Vậy: \[ \int^1_0 f(3x-1) \, dx = \frac{1}{3} \cdot 19 = \frac{19}{3} \] Tìm $\overrightarrow{OH}$ Để tìm $\overrightarrow{OH}$, ta cần xác định tọa độ của điểm $H$ là hình chiếu của điểm $A(1, 1, 2)$ lên mặt phẳng $(D): 2x + y + z + 1 = 0$. Phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(D)$ có dạng: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t \] Tọa độ của điểm $H$ trên mặt phẳng $(D)$ sẽ là: \[ H(2t + 1, t + 1, t + 2) \] Thay vào phương trình mặt phẳng $(D)$: \[ 2(2t + 1) + (t + 1) + (t + 2) + 1 = 0 \] \[ 4t + 2 + t + 1 + t + 2 + 1 = 0 \] \[ 6t + 6 = 0 \] \[ t = -1 \] Vậy tọa độ của điểm $H$ là: \[ H(2(-1) + 1, -1 + 1, -1 + 2) = (-1, 0, 1) \] Từ đó, vectơ $\overrightarrow{OH}$ là: \[ \overrightarrow{OH} = (-1, 0, 1) \] Đáp số: 1. $\int^1_0 f(3x-1) \, dx = \frac{19}{3}$ 2. $\overrightarrow{OH} = (-1, 0, 1)$ Câu4 Để tìm mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q): 2x - y + 3z + 7 = 0$ và cách điểm $A(2, 1, 1)$ một khoảng $2\sqrt{14}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình mặt phẳng $(P)$: Vì $(P)$ song song với $(Q)$, nên $(P)$ có dạng: \[ 2x - y + 3z + d = 0 \] Trong đó, $d$ là hằng số cần tìm. 2. Tính khoảng cách từ điểm $A(2, 1, 1)$ đến mặt phẳng $(P)$: Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ được tính theo công thức: \[ d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ d(A, (P)) = \frac{|2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + d|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|4 - 1 + 3 + d|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|6 + d|}{\sqrt{14}} \] Theo đề bài, khoảng cách này bằng $2\sqrt{14}$: \[ \frac{|6 + d|}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14} \] 3. Giải phương trình để tìm $d$: Nhân cả hai vế với $\sqrt{14}$: \[ |6 + d| = 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 2 \cdot 14 = 28 \] Ta có hai trường hợp: \[ 6 + d = 28 \quad \text{hoặc} \quad 6 + d = -28 \] Giải các phương trình này: \[ d = 28 - 6 = 22 \quad \text{hoặc} \quad d = -28 - 6 = -34 \] 4. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$: Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ có thể là: \[ 2x - y + 3z + 22 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - y + 3z - 34 = 0 \] Đáp số: \[ (P): 2x - y + 3z + 22 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - y + 3z - 34 = 0 \] Câu 5: Để tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{x+2} \), trục hoành \( y = 0 \), và hai đường thẳng \( x = 2 \) và \( x = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích S của hình phẳng H: Diện tích S của hình phẳng H được tính bằng tích phân của hàm số \( y = \frac{x-1}{x+2} \) từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \). \[ S = \int_{2}^{3} \left( \frac{x-1}{x+2} \right) \, dx \] 2. Phân tích tích phân: Ta phân tích tích phân thành hai phần dễ dàng hơn để tính toán. \[ \frac{x-1}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2} \] Do đó: \[ S = \int_{2}^{3} \left( 1 - \frac{3}{x+2} \right) \, dx \] 3. Tính từng phần của tích phân: Tính tích phân từng phần: \[ \int_{2}^{3} 1 \, dx = [x]_{2}^{3} = 3 - 2 = 1 \] \[ \int_{2}^{3} \frac{3}{x+2} \, dx = 3 \int_{2}^{3} \frac{1}{x+2} \, dx = 3 [\ln|x+2|]_{2}^{3} = 3 (\ln 5 - \ln 4) = 3 \ln \frac{5}{4} \] 4. Tổng hợp kết quả: Kết hợp các kết quả trên ta có: \[ S = 1 - 3 \ln \frac{5}{4} \] 5. So sánh với dạng đã cho: So sánh với dạng \( S_{(t)} = a + 3 \ln \frac{b}{c} \): \[ 1 - 3 \ln \frac{5}{4} = a + 3 \ln \frac{b}{c} \] Từ đây ta thấy rằng: \[ a = 1, \quad b = 4, \quad c = 5 \] 6. Tính \( a - b + c \): \[ a - b + c = 1 - 4 + 5 = 2 \] Đáp số: \[ a - b + c = 2 \]