Giúp e phần này với ạ B. Trả lời ngắn,Câu 1: d $n(D)=A,$ Với d: $\frac{x-1}2=\frac{y-3}1=\frac z2$ và $P:~x+2y-4z+5=0$ cao độ đ' A là?,$\int^0_{-1}f(x)dx=9;\int^2_0f(x)dx=10.$ Hỏi $\int^1_0f(3x-1)dx$,Câu 2:,câu 3 H là h/chiếu cuả, $A(1;1;2)$ lên (D: $2x+y+z+1=0.$ Hỏi $\overrightarrow{OH}=?$,$câu~(P)~H(Q):~2x-y+3z+7=0$ $=2\sqrt{14}$ Tìm (P),và cách A (2;1;1) 1 khoảng,Câu 5: H là hình phẳng giới hạn bởi đths $y=\frac{x-1}{x+2};0x;x=2;x=3.$,$S_{(t)}=a+3\ln\frac bc.~Hải$,$a-b+c=?$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm giao điểm $ A $ của đường thẳng $ d $ và mặt phẳng $ P $, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $ d $:
   Đường thẳng $ d $ có phương trình:
   $$
   \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z}{2}
   $$
   Ta đặt tham số $ t $:
   $$
   x = 2t + 1, \quad y = t + 3, \quad z = 2t
   $$

2. Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng $ P $:
   Mặt phẳng $ P $ có phương trình:
   $$
   x + 2y - 4z + 5 = 0
   $$
   Thay $ x = 2t + 1 $, $ y = t + 3 $, $ z = 2t $ vào phương trình mặt phẳng:
   $$
   (2t + 1) + 2(t + 3) - 4(2t) + 5 = 0
   $$
   $$
   2t + 1 + 2t + 6 - 8t + 5 = 0
   $$
   $$
   2t + 2t - 8t + 1 + 6 + 5 = 0
   $$
   $$
   -4t + 12 = 0
   $$
   $$
   -4t = -12
   $$
   $$
   t = 3
   $$

3. Tìm tọa độ giao điểm $ A $:
   Thay $ t = 3 $ vào phương trình tham số của đường thẳng $ d $:
   $$
   x = 2(3) + 1 = 7
   $$
   $$
   y = 3 + 3 = 6
   $$
   $$
   z = 2(3) = 6
   $$
   Vậy tọa độ giao điểm $ A $ là $ (7, 6, 6) $.

4. Tính cao độ điểm $ A $:
   Cao độ của điểm $ A $ là tọa độ $ z $-của nó, tức là:
   $$
   z = 6
   $$

Vậy cao độ của điểm $ A $ là $ 6 $.

Câu 2:
Câu 1: Tính $\int^1_0 f(3x-1) \, dx$

Để tính $\int^1_0 f(3x-1) \, dx$, ta thực hiện phép đổi biến số.

Gọi $u = 3x - 1$. Khi đó:
- Khi $x = 0$, ta có $u = 3 \cdot 0 - 1 = -1$.
- Khi $x = 1$, ta có $u = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

Tính vi phân $du$:
$$ du = 3 \, dx $$
$$ dx = \frac{1}{3} \, du $$

Do đó:
$$ \int^1_0 f(3x-1) \, dx = \int^{-1}_2 f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int^{-1}_2 f(u) \, du $$

Ta biết rằng:
$$ \int^0_{-1} f(x) \, dx = 9 $$
$$ \int^2_0 f(x) \, dx = 10 $$

Vậy:
$$ \int^{-1}_2 f(u) \, du = \int^{-1}_0 f(u) \, du + \int^0_2 f(u) \, du $$

Nhận thấy rằng:
$$ \int^{-1}_0 f(u) \, du = \int^0_{-1} f(x) \, dx = 9 $$
$$ \int^0_2 f(u) \, du = \int^2_0 f(x) \, dx = 10 $$

Do đó:
$$ \int^{-1}_2 f(u) \, du = 9 + 10 = 19 $$

Vậy:
$$ \int^1_0 f(3x-1) \, dx = \frac{1}{3} \cdot 19 = \frac{19}{3} $$

Tìm $\overrightarrow{OH}$

Để tìm $\overrightarrow{OH}$, ta cần xác định tọa độ của điểm $H$ là hình chiếu của điểm $A(1, 1, 2)$ lên mặt phẳng $(D): 2x + y + z + 1 = 0$.

Phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(D)$ có dạng:
$$ \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t $$

Tọa độ của điểm $H$ trên mặt phẳng $(D)$ sẽ là:
$$ H(2t + 1, t + 1, t + 2) $$

Thay vào phương trình mặt phẳng $(D)$:
$$ 2(2t + 1) + (t + 1) + (t + 2) + 1 = 0 $$
$$ 4t + 2 + t + 1 + t + 2 + 1 = 0 $$
$$ 6t + 6 = 0 $$
$$ t = -1 $$

Vậy tọa độ của điểm $H$ là:
$$ H(2(-1) + 1, -1 + 1, -1 + 2) = (-1, 0, 1) $$

Từ đó, vectơ $\overrightarrow{OH}$ là:
$$ \overrightarrow{OH} = (-1, 0, 1) $$

Đáp số:
1. $\int^1_0 f(3x-1) \, dx = \frac{19}{3}$
2. $\overrightarrow{OH} = (-1, 0, 1)$

Câu4
Để tìm mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q): 2x - y + 3z + 7 = 0$ và cách điểm $A(2, 1, 1)$ một khoảng $2\sqrt{14}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình mặt phẳng $(P)$:
   Vì $(P)$ song song với $(Q)$, nên $(P)$ có dạng:
   $$
   2x - y + 3z + d = 0
   $$
   Trong đó, $d$ là hằng số cần tìm.

2. Tính khoảng cách từ điểm $A(2, 1, 1)$ đến mặt phẳng $(P)$:
   Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ được tính theo công thức:
   $$
   d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
   $$
   Áp dụng vào bài toán, ta có:
   $$
   d(A, (P)) = \frac{|2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + d|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|4 - 1 + 3 + d|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|6 + d|}{\sqrt{14}}
   $$
   Theo đề bài, khoảng cách này bằng $2\sqrt{14}$:
   $$
   \frac{|6 + d|}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}
   $$

3. Giải phương trình để tìm $d$:
   Nhân cả hai vế với $\sqrt{14}$:
   $$
   |6 + d| = 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 2 \cdot 14 = 28
   $$
   Ta có hai trường hợp:
   $$
   6 + d = 28 \quad \text{hoặc} \quad 6 + d = -28
   $$
   Giải các phương trình này:
   $$
   d = 28 - 6 = 22 \quad \text{hoặc} \quad d = -28 - 6 = -34
   $$

4. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$:
   Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ có thể là:
   $$
   2x - y + 3z + 22 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - y + 3z - 34 = 0
   $$

Đáp số:
$$
(P): 2x - y + 3z + 22 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - y + 3z - 34 = 0
$$

Câu 5:
Để tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = \frac{x-1}{x+2} $, trục hoành $ y = 0 $, và hai đường thẳng $ x = 2 $ và $ x = 3 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích S của hình phẳng H:
   Diện tích S của hình phẳng H được tính bằng tích phân của hàm số $ y = \frac{x-1}{x+2} $ từ $ x = 2 $ đến $ x = 3 $.

$$
   S = \int_{2}^{3} \left( \frac{x-1}{x+2} \right) \, dx
   $$

2. Phân tích tích phân:
   Ta phân tích tích phân thành hai phần dễ dàng hơn để tính toán.

$$
   \frac{x-1}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2}
   $$

Do đó:

$$
   S = \int_{2}^{3} \left( 1 - \frac{3}{x+2} \right) \, dx
   $$

3. Tính từng phần của tích phân:
   Tính tích phân từng phần:

$$
   \int_{2}^{3} 1 \, dx = [x]_{2}^{3} = 3 - 2 = 1
   $$

$$
   \int_{2}^{3} \frac{3}{x+2} \, dx = 3 \int_{2}^{3} \frac{1}{x+2} \, dx = 3 [\ln|x+2|]_{2}^{3} = 3 (\ln 5 - \ln 4) = 3 \ln \frac{5}{4}
   $$

4. Tổng hợp kết quả:
   Kết hợp các kết quả trên ta có:

$$
   S = 1 - 3 \ln \frac{5}{4}
   $$

5. So sánh với dạng đã cho:
   So sánh với dạng $ S_{(t)} = a + 3 \ln \frac{b}{c} $:

$$
   1 - 3 \ln \frac{5}{4} = a + 3 \ln \frac{b}{c}
   $$

Từ đây ta thấy rằng:

$$
   a = 1, \quad b = 4, \quad c = 5
   $$

6. Tính $ a - b + c $:

$$
   a - b + c = 1 - 4 + 5 = 2
   $$

Đáp số: 
$$ a - b + c = 2 $$