Giúp em với ạ

Câu 2. a) Tọa độ đỉnh C là (5;2;0). Để xác định tọa độ đỉnh C, ta sử dụng tính chất của hình hộp chữ nhật. Vì C nằm trên cùng một mặt với B và D, và cũng nằm trên cùng một mặt với A', ta có: - Tọa độ x của C sẽ giống với tọa độ x của B, tức là 5. - Tọa độ y của C sẽ giống với tọa độ y của D, tức là 2. - Tọa độ z của C sẽ giống với tọa độ z của A, tức là 0. Do đó, tọa độ đỉnh C là (5;2;0). b) Độ dài đường chéo AC' là $\sqrt{33}$. Để tính độ dài đường chéo AC', ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AC' = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Tọa độ của A là (0,0,0) và tọa độ của C' là (5,2,2). Thay vào công thức: \[ AC' = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4 + 4} = \sqrt{33} \] c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BC là $(2;1;-2)$. Trọng tâm G của tam giác A'BC được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: \[ G = \left( \frac{x_{A'} + x_B + x_C}{3}, \frac{y_{A'} + y_B + y_C}{3}, \frac{z_{A'} + z_B + z_C}{3} \right) \] Tọa độ của A' là (0,0,2), B là (5,0,0), và C là (5,2,0). Thay vào công thức: \[ G = \left( \frac{0 + 5 + 5}{3}, \frac{0 + 0 + 2}{3}, \frac{2 + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) \] Như vậy, tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BC là $\left( \frac{10}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$, không phải là (2;1;-2). d) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD) là $d=\frac1{12}$. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BD), ta cần phương trình của mặt phẳng này. Ta sử dụng ba điểm A'(0,0,2), B(5,0,0), và D(0,2,0) để tìm phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz = d \] Thay tọa độ của ba điểm vào phương trình: - Với A'(0,0,2): \( 2c = d \) - Với B(5,0,0): \( 5a = d \) - Với D(0,2,0): \( 2b = d \) Từ đây, ta có: \[ a = \frac{d}{5}, b = \frac{d}{2}, c = \frac{d}{2} \] Chọn \( d = 10 \) để đơn giản hóa: \[ a = 2, b = 5, c = 5 \] Phương trình mặt phẳng là: \[ 2x + 5y + 5z = 10 \] Khoảng cách từ điểm A(0,0,0) đến mặt phẳng này là: \[ d = \frac{|2(0) + 5(0) + 5(0) - 10|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 5^2}} = \frac{10}{\sqrt{4 + 25 + 25}} = \frac{10}{\sqrt{54}} = \frac{10}{3\sqrt{6}} = \frac{10\sqrt{6}}{18} = \frac{5\sqrt{6}}{9} \] Như vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD) là $\frac{5\sqrt{6}}{9}$, không phải là $\frac{1}{12}$. Câu 3. a) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm trên là: \[ 51,5 - 48,5 = 3 \] Đáp án đúng là: a) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm trên là 3. b) Khoảng tử phân vị của bảng ghép nhóm là: \[ 49 - 48,5 = 0,5 \] Đáp án sai là: b) Khoảng tử phân vị của bảng ghép nhóm là 3. c) Giá trị trung bình của mẫu ghép nhóm là: \[ \bar{x} = \frac{1}{30} \left( 6 \times 48,75 + 2 \times 49,25 + 4 \times 49,75 + 4 \times 50,25 + 6 \times 50,75 + 8 \times 51,25 \right) \] \[ \bar{x} = \frac{1}{30} \left( 292,5 + 98,5 + 199 + 201 + 304,5 + 410 \right) \] \[ \bar{x} = \frac{1}{30} \times 1405,5 = 46,85 \] Đáp án sai là: c) Giá trị trung bình của mẫu ghép nhóm là 50,32. d) Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm là: \[ s^2 = \frac{1}{30-1} \sum_{i=1}^{6} f_i (x_i - \bar{x})^2 \] \[ s^2 = \frac{1}{29} \left( 6 \times (48,75 - 46,85)^2 + 2 \times (49,25 - 46,85)^2 + 4 \times (49,75 - 46,85)^2 + 4 \times (50,25 - 46,85)^2 + 6 \times (50,75 - 46,85)^2 + 8 \times (51,25 - 46,85)^2 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{29} \left( 6 \times 3,5025 + 2 \times 5,7025 + 4 \times 8,1025 + 4 \times 10,7025 + 6 \times 13,5025 + 8 \times 16,5025 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{29} \left( 21,015 + 11,405 + 32,41 + 42,81 + 81,015 + 132,02 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{29} \times 320,675 = 11,05775862 \] \[ s = \sqrt{11,05775862} \approx 3,325 \] Đáp án sai là: d) Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm là $0,7009; \sqrt{0,7009}$. Câu 4. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(t) \) Hàm số \( f(t) = \frac{13t + 6}{t + 4} \). Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(t) = \frac{(13t + 6)'(t + 4) - (13t + 6)(t + 4)'}{(t + 4)^2} \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ (13t + 6)' = 13 \] \[ (t + 4)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(t) = \frac{13(t + 4) - (13t + 6)}{(t + 4)^2} \] \[ f'(t) = \frac{13t + 52 - 13t - 6}{(t + 4)^2} \] \[ f'(t) = \frac{46}{(t + 4)^2} \] Bước 2: Kiểm tra các câu hỏi Câu a) Năm 2001 tốc độ tăng dân số là 1,84. Năm 2001 tương ứng với \( t = 1 \): \[ f'(1) = \frac{46}{(1 + 4)^2} = \frac{46}{25} = 1,84 \] Đúng. Câu b) Dân số của thị trấn vào năm 2010 (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 10000 người. Năm 2010 tương ứng với \( t = 10 \): \[ f(10) = \frac{13 \times 10 + 6}{10 + 4} = \frac{130 + 6}{14} = \frac{136}{14} \approx 9,714 \text{ (nghìn người)} \] Số dân vào năm 2010 là: \[ 9,714 \times 1000 = 9714 \text{ người} \] Sai. Câu c) Tốc độ tăng dân số vào năm 2005 là: \(\frac{46}{81}\). Năm 2005 tương ứng với \( t = 5 \): \[ f'(5) = \frac{46}{(5 + 4)^2} = \frac{46}{81} \] Đúng. Câu d) Dân số của thị trấn vào năm 2035 (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 13256 người. Năm 2035 tương ứng với \( t = 35 \): \[ f(35) = \frac{13 \times 35 + 6}{35 + 4} = \frac{455 + 6}{39} = \frac{461}{39} \approx 11,821 \text{ (nghìn người)} \] Số dân vào năm 2035 là: \[ 11,821 \times 1000 = 11821 \text{ người} \] Sai. Kết luận: - Câu a) Đúng. - Câu b) Sai. - Câu c) Đúng. - Câu d) Sai. Câu 5: Để biểu thức $T = MA^2 + MB^2 + MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm tọa độ của điểm $M(a; b; c)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ $M$ đến các điểm $A$, $B$, và $C$ là nhỏ nhất. Trước tiên, ta viết các bình phương khoảng cách từ $M$ đến các điểm $A$, $B$, và $C$: - $MA^2 = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 + c^2$ - $MB^2 = (a + 2)^2 + (b - 1)^2 + (c - 2)^2$ - $MC^2 = (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c + 5)^2$ Biểu thức $T$ sẽ là: \[ T = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 + c^2 + (a + 2)^2 + (b - 1)^2 + (c - 2)^2 + (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c + 5)^2 \] Ta mở rộng các bình phương: \[ T = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 4b + 4) + c^2 + (a^2 + 4a + 4) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 4c + 4) + (a^2 - 8a + 16) + (b^2 - 12b + 36) + (c^2 + 10c + 25) \] Gộp các hạng tử tương tự lại: \[ T = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 + (-2a + 4a - 8a) + (-4b - 2b - 12b) + (c - 4c + 10c) + (1 + 4 + 4 + 16 + 36 + 25) \] \[ T = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 6a - 18b + 7c + 86 \] Để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $a$, $b$, và $c$ sao cho các hệ số của $a$, $b$, và $c$ trong biểu thức trên là 0. Ta có: \[ \frac{\partial T}{\partial a} = 6a - 6 = 0 \Rightarrow a = 1 \] \[ \frac{\partial T}{\partial b} = 6b - 18 = 0 \Rightarrow b = 3 \] \[ \frac{\partial T}{\partial c} = 6c + 7 = 0 \Rightarrow c = -\frac{7}{6} \] Vậy tọa độ của điểm $M$ là $(1; 3; -\frac{7}{6})$. Ta tính $a + b + c$: \[ a + b + c = 1 + 3 - \frac{7}{6} = 4 - \frac{7}{6} = \frac{24}{6} - \frac{7}{6} = \frac{17}{6} \] Đáp số: $\frac{17}{6}$ Câu 6. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)$ tại giao điểm với trục tung là $2x-y+5=0.$ Đầu tiên, ta tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, tức là giá trị của $f(0)$: \[ f(0) = \frac{0^2 - 3 \cdot 0 + 3}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}. \] Vậy giao điểm là $(0, -\frac{3}{2})$. Tiếp theo, ta tính đạo hàm của $f(x)$ để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này: \[ f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3x + 3}{x - 2}\right)' = \frac{(2x - 3)(x - 2) - (x^2 - 3x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 7x + 6 - x^2 + 3x - 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}. \] Tại $x = 0$, ta có: \[ f'(0) = \frac{0^2 - 4 \cdot 0 + 3}{(0 - 2)^2} = \frac{3}{4}. \] Phương trình tiếp tuyến tại $(0, -\frac{3}{2})$ là: \[ y + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}. \] Phương trình này không trùng với $2x - y + 5 = 0$. Vậy phát biểu a) sai. b) Đồ thị hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục tung. Ta đã tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}. \] Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 3. \] Điểm cực trị là $x = 1$ và $x = 3$, cả hai đều nằm cùng phía đối với trục tung. Vậy phát biểu b) đúng. c) Đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận ngang Ta tìm giới hạn của $f(x)$ khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2})}{x(1 - \frac{2}{x})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x(1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2})}{1 - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty. \] Vậy đồ thị không có tiệm cận ngang. Phát biểu c) sai. d) Đồ thị của hàm số $f(x)$ không cắt trục hoành. Ta giải phương trình $f(x) = 0$: \[ \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 2} = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 3 = 0. \] Phương trình này có $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$, nên không có nghiệm thực. Vậy đồ thị không cắt trục hoành. Phát biểu d) đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng đã biết và cần tìm: - Chiều rộng bể bơi: \( AB = CD = 500 \) m - Chiều dài bể bơi: \( AD = BC = 1000 \) m - Điểm xuất phát: \( A \) - Điểm bơi: \( C \) - Điểm chạy: \( X \) 2. Tìm khoảng cách chạy và bơi: - Khoảng cách chạy từ \( A \) đến \( X \) là \( AX \) - Khoảng cách bơi từ \( X \) đến \( C \) là \( XC \) 3. Áp dụng công thức tính khoảng cách trong tam giác vuông: - Tam giác \( AXD \) là tam giác vuông tại \( D \): \[ AX = \sqrt{AD^2 + DX^2} = \sqrt{1000^2 + DX^2} \] - Tam giác \( XDC \) là tam giác vuông tại \( D \): \[ XC = \sqrt{CD^2 + DX^2} = \sqrt{500^2 + DX^2} \] 4. Tổng khoảng cách chạy và bơi: \[ AX + XC = \sqrt{1000^2 + DX^2} + \sqrt{500^2 + DX^2} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách: - Để tối ưu hóa khoảng cách, ta cần tìm giá trị của \( DX \) sao cho tổng khoảng cách \( AX + XC \) nhỏ nhất. - Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(DX) = \sqrt{1000^2 + DX^2} + \sqrt{500^2 + DX^2} \). 6. Tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(DX) = \frac{DX}{\sqrt{1000^2 + DX^2}} + \frac{DX}{\sqrt{500^2 + DX^2}} \] 7. Tìm điểm cực tiểu: - Đặt đạo hàm bằng 0: \[ \frac{DX}{\sqrt{1000^2 + DX^2}} + \frac{DX}{\sqrt{500^2 + DX^2}} = 0 \] - Điều này chỉ xảy ra khi \( DX = 0 \). Tuy nhiên, \( DX = 0 \) không phải là điểm tối ưu vì nó không giảm tổng khoảng cách. 8. Kiểm tra các giới hạn: - Khi \( DX \to 0 \), tổng khoảng cách \( AX + XC \) tăng lên. - Khi \( DX \to 500 \), tổng khoảng cách \( AX + XC \) cũng tăng lên. 9. Tìm giá trị nhỏ nhất: - Ta thấy rằng khi \( DX = 0 \), tổng khoảng cách \( AX + XC \) đạt giá trị nhỏ nhất: \[ AX + XC = 1000 + 500 = 1500 \text{ m} \] Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách chạy và bơi là 1500 m, đạt được khi \( DX = 0 \).