ai giúp mình chứng minh ba công thức tọa độ vec tơ . này với ạ

Chứng minh ba công thức tọa độ vectơ 1. Tọa độ trọng tâm của tam giác Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \] Chứng minh: - Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \( 2 : 1 \). - Ta có thể sử dụng tính chất trọng tâm để chứng minh: - Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Tọa độ của \( M \) là: \[ x_M = \frac{x_B + x_C}{2}, \quad y_M = \frac{y_B + y_C}{2} \] - Trọng tâm \( G \) nằm trên đường thẳng từ \( A \) đến \( M \) và chia đoạn thẳng này theo tỉ số \( 2 : 1 \): \[ x_G = \frac{2x_M + x_A}{3} = \frac{2 \left( \frac{x_B + x_C}{2} \right) + x_A}{3} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \] \[ y_G = \frac{2y_M + y_A}{3} = \frac{2 \left( \frac{y_B + y_C}{2} \right) + y_A}{3} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \] 2. Điều kiện hai vectơ cùng phương Hai vectơ \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2) \) và \( \overrightarrow{b} = (b_1, b_2) \) cùng phương nếu: \[ a_1 b_2 = a_2 b_1 \] Chứng minh: - Hai vectơ cùng phương khi tỉ số giữa các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau: \[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} \] - Điều này tương đương với: \[ a_1 b_2 = a_2 b_1 \] 3. Độ dài của vectơ Độ dài của vectơ \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2) \) là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] Chứng minh: - Độ dài của vectơ \( \overrightarrow{a} \) là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm \( (a_1, a_2) \): \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(a_1 - 0)^2 + (a_2 - 0)^2} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] Kết luận Ba công thức tọa độ vectơ đã được chứng minh như sau: 1. Tọa độ trọng tâm của tam giác \( G \): \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \] 2. Điều kiện hai vectơ cùng phương: \[ a_1 b_2 = a_2 b_1 \] 3. Độ dài của vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]