giải nhanh chi tiết chính xác ạ theo pp lập BBT ạ

Câu 11. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = |x^2 - 5x + 4| + 2x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét dấu của biểu thức trong trị tuyệt đối: Ta xét dấu của \( x^2 - 5x + 4 \): \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \] Biểu thức này bằng 0 tại \( x = 1 \) và \( x = 4 \). Ta xét dấu của nó trên các khoảng: - Khi \( x < 1 \), \( x^2 - 5x + 4 > 0 \) - Khi \( 1 \leq x \leq 4 \), \( x^2 - 5x + 4 \leq 0 \) - Khi \( x > 4 \), \( x^2 - 5x + 4 > 0 \) 2. Phân tích hàm số theo các trường hợp: - Trường hợp 1: \( x < 1 \) hoặc \( x > 4 \) \[ y = (x^2 - 5x + 4) + 2x = x^2 - 3x + 4 \] - Trường hợp 2: \( 1 \leq x \leq 4 \) \[ y = -(x^2 - 5x + 4) + 2x = -x^2 + 7x - 4 \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi trường hợp: - Trường hợp 1: \( y = x^2 - 3x + 4 \) Đây là một parabol mở lên, đỉnh của nó là: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} \] Tuy nhiên, \( x = \frac{3}{2} \) nằm ngoài khoảng \( x < 1 \) hoặc \( x > 4 \). Do đó, ta cần kiểm tra giá trị của \( y \) tại các điểm biên: \[ y(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = 2 \] \[ y(4) = 4^2 - 3 \cdot 4 + 4 = 8 \] \[ y(5) = 5^2 - 3 \cdot 5 + 4 = 14 \] Giá trị nhỏ nhất trong khoảng này là \( y = 2 \). - Trường hợp 2: \( y = -x^2 + 7x - 4 \) Đây là một parabol mở xuống, đỉnh của nó là: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{7}{2} \] Kiểm tra giá trị của \( y \) tại đỉnh: \[ y\left(\frac{7}{2}\right) = -\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 7 \cdot \frac{7}{2} - 4 = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 4 = \frac{49}{4} - 4 = \frac{49}{4} - \frac{16}{4} = \frac{33}{4} \] Kiểm tra giá trị của \( y \) tại các điểm biên: \[ y(1) = -1^2 + 7 \cdot 1 - 4 = 2 \] \[ y(4) = -4^2 + 7 \cdot 4 - 4 = 8 \] Giá trị nhỏ nhất trong khoảng này là \( y = 2 \). 4. So sánh các giá trị nhỏ nhất: Từ hai trường hợp trên, giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( y = 2 \). Đáp án: A. \( \min y = 2 \). Câu 12. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |x^2 - 3x + 2| + 2x \) trên đoạn \([-3; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt: Ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho biểu thức \( x^2 - 3x + 2 \) bằng 0 hoặc đổi dấu. \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy \( x = 1 \) và \( x = 2 \). 2. Phân tích biểu thức \( |x^2 - 3x + 2| \): - Trên khoảng \((-∞, 1)\), \( x^2 - 3x + 2 > 0 \), do đó \( |x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2 \). - Trên khoảng \((1, 2)\), \( x^2 - 3x + 2 < 0 \), do đó \( |x^2 - 3x + 2| = -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 3x - 2 \). - Trên khoảng \((2, +∞)\), \( x^2 - 3x + 2 > 0 \), do đó \( |x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2 \). 3. Xét các trường hợp trên đoạn \([-3, 4]\): - Trên đoạn \([-3, 1]\): \[ y = x^2 - 3x + 2 + 2x = x^2 - x + 2 \] - Trên đoạn \([1, 2]\): \[ y = -x^2 + 3x - 2 + 2x = -x^2 + 5x - 2 \] - Trên đoạn \([2, 4]\): \[ y = x^2 - 3x + 2 + 2x = x^2 - x + 2 \] 4. Tìm giá trị cực đại trên mỗi đoạn: - Trên đoạn \([-3, 1]\): \[ y = x^2 - x + 2 \] Đạo hàm: \[ y' = 2x - 1 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ y(-3) = (-3)^2 - (-3) + 2 = 9 + 3 + 2 = 14 \] \[ y(1) = 1^2 - 1 + 2 = 2 \] \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4} \] - Trên đoạn \([1, 2]\): \[ y = -x^2 + 5x - 2 \] Đạo hàm: \[ y' = -2x + 5 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -2x + 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} \] Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ y(1) = -1^2 + 5 \cdot 1 - 2 = -1 + 5 - 2 = 2 \] \[ y(2) = -2^2 + 5 \cdot 2 - 2 = -4 + 10 - 2 = 4 \] - Trên đoạn \([2, 4]\): \[ y = x^2 - x + 2 \] Đạo hàm: \[ y' = 2x - 1 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên: \[ y(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4 \] \[ y(4) = 4^2 - 4 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14 \] 5. So sánh các giá trị đã tìm được: Các giá trị đã tính: \[ y(-3) = 14, \quad y(1) = 2, \quad y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{4}, \quad y(2) = 4, \quad y(4) = 14 \] Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 14. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |x^2 - 3x + 2| + 2x \) trên đoạn \([-3, 4]\) là 14, đạt được khi \( x = -3 \) hoặc \( x = 4 \). Đáp án đúng là: A. $\max_{[-3;4]}y=14$. Câu 14. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{1}{4}x^2 - x - \sqrt{4x - x^2}$ trên đoạn [0, 4], ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ 4x - x^2 \geq 0 \implies x(4 - x) \geq 0 \implies 0 \leq x \leq 4. \] Do đó, miền xác định của hàm số là $[0, 4]$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{1}{4}x^2 - x - \sqrt{4x - x^2}\right)' = \frac{1}{2}x - 1 - \frac{1}{2}(4 - 2x)\frac{1}{\sqrt{4x - x^2}}. \] Đơn giản hóa đạo hàm: \[ y' = \frac{1}{2}x - 1 - \frac{2 - x}{\sqrt{4x - x^2}}. \] 3. Tìm điểm cực trị: Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: \[ \frac{1}{2}x - 1 - \frac{2 - x}{\sqrt{4x - x^2}} = 0. \] Nhân cả hai vế với $\sqrt{4x - x^2}$: \[ \frac{1}{2}x\sqrt{4x - x^2} - \sqrt{4x - x^2} - (2 - x) = 0. \] Gộp các hạng tử: \[ \frac{1}{2}x\sqrt{4x - x^2} - \sqrt{4x - x^2} - 2 + x = 0. \] Chia cả hai vế cho $\sqrt{4x - x^2}$: \[ \frac{1}{2}x - 1 - \frac{2 - x}{4x - x^2} = 0. \] Giải phương trình này phức tạp, nên ta thử các giá trị đặc biệt trong đoạn [0, 4]: - Khi $x = 0$: $y = \frac{1}{4}(0)^2 - 0 - \sqrt{4(0) - (0)^2} = 0$. - Khi $x = 4$: $y = \frac{1}{4}(4)^2 - 4 - \sqrt{4(4) - (4)^2} = 4 - 4 - 0 = 0$. - Khi $x = 2$: $y = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 - \sqrt{4(2) - (2)^2} = 1 - 2 - \sqrt{8 - 4} = 1 - 2 - 2 = -3$. 4. So sánh các giá trị: - Tại $x = 0$, $y = 0$. - Tại $x = 4$, $y = 0$. - Tại $x = 2$, $y = -3$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 0, đạt được khi $x = 0$ hoặc $x = 4$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -3, đạt được khi $x = 2$. Đáp án đúng là: A. $\max_{[0;4]}y = 0, \min_{[0;4]}y = -3$. Câu 1. a) Ta có: $y=x(x+1)(x-2)(x-3)=x(x-2)(x+1)(x-3)=(x^2-2x)(x^2-2x-3).$ Đặt $t=x^2-2x$ thì $y=t(t-3)=t^2-3t=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}.$ Vậy $y_{min}=-\frac{9}{4},$ khi $t=\frac{3}{2},$ tức là $x^2-2x=\frac{3}{2},$ hay $x=1\pm \frac{\sqrt{10}}{2}.$ Không có giá trị lớn nhất. b) Ta có: $y=(2x-1)^2-4|2x-1|+3.$ Đặt $t=|2x-1|$ thì $y=t^2-4t+3=(t-2)^2-1.$ Vậy $y_{min}=-1,$ khi $t=2,$ tức là $|2x-1|=2,$ hay $x=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-\frac{1}{2}.$ Không có giá trị lớn nhất.