Helpppppppppppp

BÀI 1. Để tìm tập xác định của hàm số, ta cần kiểm tra các điều kiện đảm bảo rằng biểu thức của hàm số có nghĩa. Các điều kiện này thường liên quan đến việc mẫu số không được bằng không, căn thức dưới dấu căn phải không âm, và các điều kiện khác tùy thuộc vào dạng của hàm số. Dưới đây là các bước chi tiết để tìm tập xác định của hàm số: 1. Phân tích biểu thức của hàm số: Xác định các thành phần của hàm số, bao gồm các phân thức, căn thức, và các điều kiện khác có thể xuất hiện trong biểu thức. 2. Kiểm tra điều kiện của các phân thức: Nếu hàm số có chứa phân thức, mẫu số của phân thức không được phép bằng không. Ta cần tìm các giá trị của biến làm cho mẫu số bằng không và loại bỏ chúng khỏi tập xác định. 3. Kiểm tra điều kiện của các căn thức: Nếu hàm số có chứa căn thức, biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Ta cần tìm các giá trị của biến làm cho biểu thức dưới dấu căn không âm và chỉ giữ lại các giá trị thỏa mãn điều kiện này. 4. Kiểm tra các điều kiện khác: Có thể có các điều kiện khác liên quan đến hàm số, như các điều kiện về miền giá trị của các hàm lượng giác, hoặc các điều kiện khác tùy theo ngữ cảnh của bài toán. 5. Tổng hợp các điều kiện: Sau khi đã tìm ra tất cả các điều kiện, ta tổng hợp chúng lại để xác định tập xác định của hàm số. Ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \). - Bước 1: Biểu thức của hàm số là \( \frac{x+1}{x-2} \). - Bước 2: Kiểm tra điều kiện của phân thức: Mẫu số \( x - 2 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq 2 \). - Bước 3: Không có căn thức trong biểu thức, nên không cần kiểm tra điều kiện của căn thức. - Bước 4: Không có các điều kiện khác cần kiểm tra. - Bước 5: Tổng hợp các điều kiện: Tập xác định của hàm số là \( x \neq 2 \). Vậy tập xác định của hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) là \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \). Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số \( g(x) = \sqrt{x^2 - 4} \). - Bước 1: Biểu thức của hàm số là \( \sqrt{x^2 - 4} \). - Bước 2: Không có phân thức trong biểu thức, nên không cần kiểm tra điều kiện của phân thức. - Bước 3: Kiểm tra điều kiện của căn thức: Biểu thức dưới dấu căn phải không âm, tức là \( x^2 - 4 \geq 0 \). Giải bất phương trình này: \[ x^2 - 4 \geq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \geq 0 \] Ta có các khoảng nghiệm là \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 2 \). - Bước 4: Không có các điều kiện khác cần kiểm tra. - Bước 5: Tổng hợp các điều kiện: Tập xác định của hàm số là \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 2 \). Vậy tập xác định của hàm số \( g(x) = \sqrt{x^2 - 4} \) là \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \). Như vậy, để tìm tập xác định của hàm số, ta cần kiểm tra các điều kiện liên quan đến phân thức, căn thức, và các điều kiện khác, sau đó tổng hợp các điều kiện này để xác định tập xác định của hàm số. Bài 1. Để tìm tập xác định của các hàm số đã cho, ta cần đảm bảo rằng mẫu số của mỗi phân thức không bằng không. a) $y = \frac{2x - 1}{1 - x}$ Điều kiện xác định: Mẫu số không được bằng không. \[ 1 - x \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] b) $y = \frac{1}{x^2 + 4x + 5}$ Điều kiện xác định: Mẫu số không được bằng không. \[ x^2 + 4x + 5 \neq 0 \] Ta kiểm tra xem phương trình $x^2 + 4x + 5 = 0$ có nghiệm hay không bằng cách tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình $x^2 + 4x + 5 = 0$ không có nghiệm thực. Do đó, mẫu số $x^2 + 4x + 5$ luôn khác 0 với mọi giá trị của $x$. Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] c) $y = \frac{2x - 1}{(2x + 1)(x - 3)}$ Điều kiện xác định: Mẫu số không được bằng không. \[ (2x + 1)(x - 3) \neq 0 \] Ta giải phương trình $(2x + 1)(x - 3) = 0$ để tìm các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng không: \[ 2x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}, 3\right\} \] Tóm lại: a) $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ b) $D = \mathbb{R}$ c) $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}, 3\right\}$ Bài 2. Để tìm tập xác định của các hàm số đã cho, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm. a) $y = \sqrt{3x - 2}$ Điều kiện xác định: \[ 3x - 2 \geq 0 \] \[ 3x \geq 2 \] \[ x \geq \frac{2}{3} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \left[ \frac{2}{3}, +\infty \right) \] b) $y = \sqrt{x^2 + 2023}$ Điều kiện xác định: \[ x^2 + 2023 \geq 0 \] Vì $x^2$ luôn không âm và 2023 là số dương, nên $x^2 + 2023$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của $x$. Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] c) $y = \sqrt{-2x + 1} - \sqrt{x - 1}$ Điều kiện xác định: \[ -2x + 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x - 1 \geq 0 \] Giải từng bất đẳng thức: \[ -2x + 1 \geq 0 \] \[ -2x \geq -1 \] \[ x \leq \frac{1}{2} \] \[ x - 1 \geq 0 \] \[ x \geq 1 \] Nhìn vào hai điều kiện trên, ta thấy rằng không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc. Do đó, tập xác định của hàm số là rỗng: \[ D = \emptyset \] d) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x - 3}$ Điều kiện xác định: \[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x - 3 \geq 0 \] Giải từng bất đẳng thức: \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0 \] Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của $x$ vì $(x - 1)^2$ luôn không âm. \[ x - 3 \geq 0 \] \[ x \geq 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = [3, +\infty) \] Tóm lại, tập xác định của các hàm số là: a) $D = \left[ \frac{2}{3}, +\infty \right)$ b) $D = \mathbb{R}$ c) $D = \emptyset$ d) $D = [3, +\infty)$ Bài 3. a) Để hàm số $y=\frac{3x-2023}{\sqrt{2x-2}}$ có nghĩa thì: \[ 2x - 2 > 0 \] \[ 2x > 2 \] \[ x > 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (1; +\infty) \). b) Để hàm số $y=\frac{x+3}{\sqrt{6-2x}}$ có nghĩa thì: \[ 6 - 2x > 0 \] \[ -2x > -6 \] \[ x < 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (-\infty; 3) \). c) Để hàm số $y=\frac{x-2}{(x^2+7x+6)\sqrt{2x+4}}$ có nghĩa thì: \[ x^2 + 7x + 6 \neq 0 \] \[ (x + 1)(x + 6) \neq 0 \] \[ x \neq -1 \text{ và } x \neq -6 \] \[ 2x + 4 > 0 \] \[ 2x > -4 \] \[ x > -2 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (-2; -1) \cup (-1; +\infty) \). d) Để hàm số $y=\frac{2}{(x^2-3x+2)\sqrt{x+4}}$ có nghĩa thì: \[ x^2 - 3x + 2 \neq 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) \neq 0 \] \[ x \neq 1 \text{ và } x \neq 2 \] \[ x + 4 > 0 \] \[ x > -4 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (-4; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty) \). e) Để hàm số $y=\frac{5-x}{(x^2-8x-9)\sqrt{3-x}}$ có nghĩa thì: \[ x^2 - 8x - 9 \neq 0 \] \[ (x - 9)(x + 1) \neq 0 \] \[ x \neq 9 \text{ và } x \neq -1 \] \[ 3 - x > 0 \] \[ x < 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \). f) Để hàm số $y=\frac{x-2}{\sqrt{2x+4}-\sqrt{4-2x}}$ có nghĩa thì: \[ 2x + 4 > 0 \] \[ 2x > -4 \] \[ x > -2 \] \[ 4 - 2x > 0 \] \[ -2x > -4 \] \[ x < 2 \] \[ \sqrt{2x+4} \neq \sqrt{4-2x} \] \[ 2x + 4 \neq 4 - 2x \] \[ 4x \neq 0 \] \[ x \neq 0 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (-2; 0) \cup (0; 2) \). g) Để hàm số $y=\frac{2}{(x+2)\sqrt{x+1}}$ có nghĩa thì: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \] \[ x + 1 > 0 \] \[ x > -1 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = (-1; +\infty) \). h) Để hàm số $y=\frac{x}{1-x^2}-\sqrt{-x}$ có nghĩa thì: \[ 1 - x^2 \neq 0 \] \[ (1 - x)(1 + x) \neq 0 \] \[ x \neq 1 \text{ và } x \neq -1 \] \[ -x \geq 0 \] \[ x \leq 0 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = [-1; 0) \). Bài 4. a) Xét hàm số \( f(x) = \begin{cases} x^2 - 2024 & \text{khi } x < 0 \\ \frac{x}{2} & \text{khi } x > 0 \end{cases} \) - Với \( x < 0 \), biểu thức \( x^2 - 2024 \) luôn xác định vì \( x^2 \) là số dương và trừ đi 2024 vẫn xác định. - Với \( x > 0 \), biểu thức \( \frac{x}{2} \) cũng luôn xác định vì chia một số dương cho 2 vẫn xác định. Do đó, tập xác định của hàm số này là \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \). b) Xét hàm số \( f(x) = \begin{cases} 2024x + 2025 & \text{khi } -1 \leq x < 3 \\ \sqrt{x - 2} & \text{khi } x > 3 \end{cases} \) - Với \( -1 \leq x < 3 \), biểu thức \( 2024x + 2025 \) luôn xác định vì nó là một đa thức bậc nhất. - Với \( x > 3 \), biểu thức \( \sqrt{x - 2} \) xác định khi \( x - 2 \geq 0 \). Điều này luôn đúng khi \( x > 3 \). Do đó, tập xác định của hàm số này là \( [-1, 3) \cup (3, +\infty) \). Đáp số: a) Tập xác định: \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \) b) Tập xác định: \( [-1, 3) \cup (3, +\infty) \) Bài 5. a) Hàm số $y=\frac{2x+1}{3x+2}$ xác định khi $3x + 2 \neq 0$. Giải phương trình $3x + 2 = 0$, ta có $x = -\frac{2}{3}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{2}{3}\right\}$. b) Hàm số $y=\frac{x-3}{5-2x}$ xác định khi $5 - 2x \neq 0$. Giải phương trình $5 - 2x = 0$, ta có $x = \frac{5}{2}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{5}{2}\right\}$. c) Hàm số $y=\frac{x}{x^2-3x+2}$ xác định khi $x^2 - 3x + 2 \neq 0$. Giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$, ta có $(x - 1)(x - 2) = 0$. Vậy $x = 1$ hoặc $x = 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$. d) Hàm số $y=\frac{x-1}{x^3+1}$ xác định khi $x^3 + 1 \neq 0$. Giải phương trình $x^3 + 1 = 0$, ta có $x^3 = -1$. Vậy $x = -1$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. e) Hàm số $y=\frac{1}{5x^2+7x+2}$ xác định khi $5x^2 + 7x + 2 \neq 0$. Giải phương trình $5x^2 + 7x + 2 = 0$, ta có $\Delta = 49 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9$. Vậy $x = \frac{-7 \pm 3}{10}$, tức là $x = -1$ hoặc $x = -\frac{2}{5}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-1, -\frac{2}{5}\right\}$. f) Hàm số $y=\frac{1}{x^4+2x^2-3}$ xác định khi $x^4 + 2x^2 - 3 \neq 0$. Giải phương trình $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$, ta có $(x^2 + 3)(x^2 - 1) = 0$. Vậy $x^2 = -3$ (loại) hoặc $x^2 = 1$. Vậy $x = 1$ hoặc $x = -1$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Bài 6. a) Để hàm số $y = \sqrt{2x - 3}$ có nghĩa thì: \[ 2x - 3 \geq 0 \] \[ 2x \geq 3 \] \[ x \geq \frac{3}{2} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \left[ \frac{3}{2}, +\infty \right) \] b) Để hàm số $y = \sqrt{|2x - 3|}$ có nghĩa thì: \[ |2x - 3| \geq 0 \] Biểu thức này luôn đúng với mọi giá trị của \( x \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] c) Để hàm số $y = \frac{1 - x}{(2 - x)\sqrt{x^2 - 5x + 4}}$ có nghĩa thì: \[ (2 - x) \neq 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 5x + 4 > 0 \] Giải bất phương trình \( x^2 - 5x + 4 > 0 \): \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) > 0 \] Phương trình \( (x - 1)(x - 4) = 0 \) có nghiệm \( x = 1 \) và \( x = 4 \). Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) \\ \hline x - 1 & - & + & + \\ x - 4 & - & - & + \\ (x - 1)(x - 4) & + & - & + \\ \end{array} \] Vậy \( x^2 - 5x + 4 > 0 \) khi \( x < 1 \) hoặc \( x > 4 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \] d) Để hàm số $y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 3}$ có nghĩa thì: \[ x - 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x - 3 \neq 0 \] Giải bất phương trình \( x - 1 \geq 0 \): \[ x \geq 1 \] Và \( x \neq 3 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = [1, 3) \cup (3, +\infty) \] e) Để hàm số $y = \frac{1}{(x + 2)\sqrt{x - 1}}$ có nghĩa thì: \[ x + 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad x - 1 > 0 \] Giải bất phương trình \( x - 1 > 0 \): \[ x > 1 \] Và \( x \neq -2 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (1, +\infty) \] f) Để hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{2x^2 - 5x + 2}$ có nghĩa thì: \[ x^2 - 3x + 2 \geq 0 \quad \text{và} \quad 2x^2 - 5x + 2 \neq 0 \] Giải bất phương trình \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \): \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \geq 0 \] Phương trình \( (x - 1)(x - 2) = 0 \) có nghiệm \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 2) & (2, +\infty) \\ \hline x - 1 & - & + & + \\ x - 2 & - & - & + \\ (x - 1)(x - 2) & + & - & + \\ \end{array} \] Vậy \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \) khi \( x \leq 1 \) hoặc \( x \geq 2 \). Giải phương trình \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ 2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) = 0 \] Phương trình có nghiệm \( x = \frac{1}{2} \) và \( x = 2 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1] \cup (2, +\infty) \] g) Để hàm số $y = \frac{\sqrt{5 - 2x}}{(x - 2)\sqrt{x - 1}}$ có nghĩa thì: \[ 5 - 2x \geq 0 \quad \text{và} \quad x - 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad x - 1 > 0 \] Giải bất phương trình \( 5 - 2x \geq 0 \): \[ 5 \geq 2x \] \[ x \leq \frac{5}{2} \] Giải bất phương trình \( x - 1 > 0 \): \[ x > 1 \] Và \( x \neq 2 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (1, 2) \cup (2, \frac{5}{2}] \] h) Để hàm số $y = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{\frac{1}{3 - x}}$ có nghĩa thì: \[ 2x - 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad 3 - x > 0 \] Giải bất phương trình \( 2x - 1 \geq 0 \): \[ 2x \geq 1 \] \[ x \geq \frac{1}{2} \] Giải bất phương trình \( 3 - x > 0 \): \[ x < 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \left[ \frac{1}{2}, 3 \right) \] i) Để hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}{x^2 - 4x}$ có nghĩa thì: \[ x^2 - 4x \neq 0 \] Giải phương trình \( x^2 - 4x = 0 \): \[ x(x - 4) = 0 \] Phương trình có nghiệm \( x = 0 \) và \( x = 4 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\} \] Đáp số: a) \( D = \left[ \frac{3}{2}, +\infty \right) \) b) \( D = \mathbb{R} \) c) \( D = (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \) d) \( D = [1, 3) \cup (3, +\infty) \) e) \( D = (1, +\infty) \) f) \( D = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1] \cup (2, +\infty) \) g) \( D = (1, 2) \cup (2, \frac{5}{2}] \) h) \( D = \left[ \frac{1}{2}, 3 \right) \) i) \( D = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\} \) Bài 7. a) Xét trường hợp $x < -2$: Tập xác định là $(-\infty, -2)$. Xét trường hợp $x > 0$: Ta có $\frac{x-2025}{2+3x}$, yêu cầu $2 + 3x \neq 0$, suy ra $x \neq -\frac{2}{3}$. Vì $x > 0$ nên $x \neq -\frac{2}{3}$ luôn đúng. Vậy tập xác định là $(0, +\infty)$. Tập xác định của hàm số là $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$. b) Xét trường hợp $-2 \leq x \leq 2$: Ta có $\sqrt{4 - x^2}$, yêu cầu $4 - x^2 \geq 0$, suy ra $-2 \leq x \leq 2$. Vậy tập xác định là $[-2, 2]$. Xét trường hợp $x > 3$: Ta có $\frac{x}{x^2 - 9}$, yêu cầu $x^2 - 9 \neq 0$, suy ra $x \neq \pm 3$. Vì $x > 3$ nên $x \neq 3$ luôn đúng. Vậy tập xác định là $(3, +\infty)$. Tập xác định của hàm số là $[-2, 2] \cup (3, +\infty)$. c) Xét trường hợp $x \leq 4$: Tập xác định là $(-\infty, 4]$. Xét trường hợp $x > 4$: Ta có $\sqrt{\frac{1}{2 - x}}$, yêu cầu $2 - x > 0$, suy ra $x < 2$. Điều này mâu thuẫn với $x > 4$. Vậy không có giá trị nào thỏa mãn. Tập xác định của hàm số là $(-\infty, 4]$. d) Xét trường hợp $x \leq 3$: Tập xác định là $(-\infty, 3]$. Xét trường hợp $x \geq 3$: Ta có $\sqrt{x^2 - 4x + 3}$, yêu cầu $x^2 - 4x + 3 \geq 0$. Ta giải bất phương trình: \[x^2 - 4x + 3 \geq 0\] Phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x = 1$ và $x = 3$. Bất phương trình $x^2 - 4x + 3 \geq 0$ đúng khi $x \leq 1$ hoặc $x \geq 3$. Vì $x \geq 3$ nên tập xác định là $[3, +\infty)$. Tập xác định của hàm số là $(-\infty, 3] \cup [3, +\infty) = (-\infty, +\infty)$.