helppppppp

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( 2x^2 + 3x + m + 1 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức \( 2x^2 + 3x + m + 1 \) luôn dương. Điều này tương đương với việc biểu thức \( 2x^2 + 3x + m + 1 \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép nhưng giá trị của nó vẫn dương. Ta sẽ sử dụng phương pháp xét dấu của tam thức bậc hai \( ax^2 + bx + c \). Biểu thức \( 2x^2 + 3x + m + 1 \) sẽ luôn dương nếu: 1. Hệ số \( a = 2 > 0 \) 2. Phương trình \( 2x^2 + 3x + m + 1 = 0 \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép nhưng giá trị của nó vẫn dương. Điều kiện để phương trình \( 2x^2 + 3x + m + 1 = 0 \) không có nghiệm thực là: \[ \Delta < 0 \] Trong đó, \( \Delta \) là biệt thức của phương trình bậc hai, được tính bằng công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào bài toán: \[ a = 2, \quad b = 3, \quad c = m + 1 \] Tính biệt thức: \[ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m + 1) \] \[ \Delta = 9 - 8(m + 1) \] \[ \Delta = 9 - 8m - 8 \] \[ \Delta = 1 - 8m \] Để biểu thức \( 2x^2 + 3x + m + 1 \) luôn dương, ta cần: \[ \Delta < 0 \] \[ 1 - 8m < 0 \] \[ 1 < 8m \] \[ m > \frac{1}{8} \] Vậy giá trị của \( m \) để \( 2x^2 + 3x + m + 1 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là: \[ m > \frac{1}{8} \]