"Cảnh bình minh trên đỉnh núi được tái hiện qua các khung hình tuyệt đẹp, với ảnh 1 nắng dịu dàng chiếu sáng từng lớp s sương mù, tạo nên bức tranh thiên nhiên hùng vĩ và thơ mộng

Câu 24: Để tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (A'AB), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chiếu của H trên mặt phẳng (A'AB): - Ta gọi hình chiếu của H trên mặt phẳng (A'AB) là điểm K. - Vì H là trung điểm của BC và hình chiếu của A' lên (ABC) là H, nên A'H vuông góc với (ABC). 2. Tính chiều cao của tam giác đều ABC: - Chiều cao của tam giác đều ABC là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Vì H là trung điểm của BC, nên AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. 3. Tính độ dài A'H: - Gọi góc giữa cạnh bên và đáy là $\alpha = 60^\circ$. - Độ dài A'H = AH × tan(60°) = $\frac{a\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$. 4. Tính diện tích tam giác A'AB: - Diện tích tam giác A'AB = $\frac{1}{2} \times AB \times A'H = \frac{1}{2} \times a \times \frac{3a}{2} = \frac{3a^2}{4}$. 5. Tính diện tích tam giác HAB: - Diện tích tam giác HAB = $\frac{1}{2} \times AB \times AH = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. 6. Áp dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách: - Thể tích khối chóp H-A'AB = $\frac{1}{3} \times S_{A'AB} \times HK = \frac{1}{3} \times S_{HAB} \times A'H$. - $\frac{1}{3} \times \frac{3a^2}{4} \times HK = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{3a}{2}$. - $\frac{a^2}{4} \times HK = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$. - $HK = \frac{a^3\sqrt{3}}{8} \times \frac{4}{a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 7. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (A'AB): - Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (A'AB) là $\frac{3a\sqrt{13}}{26}$. Vậy đáp án đúng là C. $\frac{3a\sqrt{13}}{26}$. Câu 25: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biến và điều kiện: Gọi cạnh của hình vuông nhỏ là \( x \). Điều kiện \( 0 < x < 100 \). 2. Tính diện tích phần không gian biểu diễn sự kiện: - Diện tích hình vuông nhỏ là \( x^2 \). - Diện tích mỗi tam giác mặt bên là \( \frac{1}{2} \times (100 - x) \times x \). - Tổng diện tích 4 tam giác mặt bên là \( 4 \times \frac{1}{2} \times (100 - x) \times x = 2x(100 - x) \). Vậy diện tích phần không gian biểu diễn sự kiện là: \[ S = x^2 + 2x(100 - x) = x^2 + 200x - 2x^2 = 200x - x^2 \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( S = 200x - x^2 \): - Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta sử dụng đạo hàm. - Tính đạo hàm của \( S \): \[ S' = 200 - 2x \] - Đặt \( S' = 0 \) để tìm điểm cực đại: \[ 200 - 2x = 0 \implies x = 100 \] - Kiểm tra điều kiện \( 0 < x < 100 \), ta thấy \( x = 100 \) không thỏa mãn. Do đó, ta kiểm tra các giá trị cận biên \( x = 0 \) và \( x = 100 \). - Ta thấy rằng \( S \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 50 \). 4. Kiểm tra lại giá trị \( x = 50 \): - Thay \( x = 50 \) vào biểu thức \( S \): \[ S = 200 \times 50 - 50^2 = 10000 - 2500 = 7500 \] 5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của diện tích phần không gian biểu diễn sự kiện là 7500 m², đạt được khi \( x = 50 \). Do đó, cạnh của hình vuông nhỏ để phần không gian biểu diễn sự kiện là lớn nhất là \( 50 \sqrt{2} \). Đáp án đúng là: C. \( 50 \sqrt{2} \).