Bài 1 : Cho một ô vuông 4 x 4. Trên 16 ô của bảng, ta đặt 16 STN từ 1 đền 16 . CMR : tồn tại hai ô kề nhau ( tức là hai ô có cùng một cạnh chung) sao cho hiệu các số ở hai ô đó lớn hơn hoặc bằng 3

Bài 1 Giả sử rằng hiệu của các số ở hai ô kề nhau đều nhỏ hơn 3. Ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn. Xét các số từ 1 đến 16, ta thấy rằng nếu hiệu của các số ở hai ô kề nhau đều nhỏ hơn 3, thì các số này phải nằm gần nhau trên dãy số tự nhiên. Cụ thể, nếu một ô có số là \(a\), thì ô kề nó phải có số là \(a-1\), \(a-2\), \(a+1\), hoặc \(a+2\). Bây giờ, ta sẽ xét các trường hợp: 1. Nếu ô đầu tiên có số 1, thì ô kề nó phải có số 2 hoặc 3. 2. Nếu ô đầu tiên có số 2, thì ô kề nó phải có số 1, 3, hoặc 4. 3. Nếu ô đầu tiên có số 3, thì ô kề nó phải có số 1, 2, 4, hoặc 5. 4. Nếu ô đầu tiên có số 4, thì ô kề nó phải có số 2, 3, 5, hoặc 6. 5. Nếu ô đầu tiên có số 5, thì ô kề nó phải có số 3, 4, 6, hoặc 7. 6. Nếu ô đầu tiên có số 6, thì ô kề nó phải có số 4, 5, 7, hoặc 8. 7. Nếu ô đầu tiên có số 7, thì ô kề nó phải có số 5, 6, 8, hoặc 9. 8. Nếu ô đầu tiên có số 8, thì ô kề nó phải có số 6, 7, 9, hoặc 10. 9. Nếu ô đầu tiên có số 9, thì ô kề nó phải có số 7, 8, 10, hoặc 11. 10. Nếu ô đầu tiên có số 10, thì ô kề nó phải có số 8, 9, 11, hoặc 12. 11. Nếu ô đầu tiên có số 11, thì ô kề nó phải có số 9, 10, 12, hoặc 13. 12. Nếu ô đầu tiên có số 12, thì ô kề nó phải có số 10, 11, 13, hoặc 14. 13. Nếu ô đầu tiên có số 13, thì ô kề nó phải có số 11, 12, 14, hoặc 15. 14. Nếu ô đầu tiên có số 14, thì ô kề nó phải có số 12, 13, 15, hoặc 16. 15. Nếu ô đầu tiên có số 15, thì ô kề nó phải có số 13, 14, hoặc 16. 16. Nếu ô đầu tiên có số 16, thì ô kề nó phải có số 14 hoặc 15. Như vậy, nếu ta đặt số 1 ở một ô, thì ô kề nó phải có số 2 hoặc 3. Nếu ô kề nó có số 2, thì ô kề tiếp theo phải có số 1 hoặc 3. Nếu ô kề nó có số 3, thì ô kề tiếp theo phải có số 2 hoặc 4. Ta thấy rằng, nếu ta tiếp tục đặt các số theo cách này, ta sẽ không thể đặt đủ 16 số từ 1 đến 16 mà không vi phạm giả thiết rằng hiệu của các số ở hai ô kề nhau đều nhỏ hơn 3. Do đó, ta đã tìm thấy mâu thuẫn. Vậy, tồn tại hai ô kề nhau sao cho hiệu các số ở hai ô đó lớn hơn hoặc bằng 3.