<p>Nfhjejehvdjdbdbdv</p>

Câu 1. Để xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Bước 1: Xác định tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu. - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất: - Cách điểm xuất phát về phía Đông 100 km và về phía Nam 80 km, đồng thời cách mặt đất 1 km. - Tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là \( A(100, -80, 1) \). - Chiếc khinh khí cầu thứ hai: - Cách điểm xuất phát về phía Bắc 70 km và về phía Tây 60 km, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. - Tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là \( B(-60, 70, 0,8) \). Bước 2: Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu vào công thức: \[ d = \sqrt{((-60) - 100)^2 + (70 - (-80))^2 + (0,8 - 1)^2} \] \[ d = \sqrt{(-160)^2 + (150)^2 + (-0,2)^2} \] \[ d = \sqrt{25600 + 22500 + 0,04} \] \[ d = \sqrt{48100,04} \] \[ d \approx 219,32 \] Vậy khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là khoảng 219 km (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 219 km. Câu 2. Trước tiên, ta cần xác định hai vectơ mà chúng ta sẽ tính góc giữa chúng. Giả sử ta chọn hai vectơ là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương. Giả sử hình lập phương có cạnh dài $a$. Ta có: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - D(0, a, 0) Bước 2: Xác định tọa độ của các vectơ. - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{AD} = D - A = (0, a, 0)$ Bước 3: Tính tích vô hướng của hai vectơ. \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (a, 0, 0) \cdot (0, a, 0) = a \cdot 0 + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = 0 \] Bước 4: Tính độ dài của mỗi vectơ. \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a \] \[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a \] Bước 5: Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ. \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AD}|} = \frac{0}{a \cdot a} = 0 \] Bước 6: Kết luận giá trị của cosin góc. \[ \cos(\theta) = 0 \] Vậy cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là 0. Câu 3. Để tam giác ABC vuông tại A, ta cần có \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \). Bước 1: Tính các vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \). \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, 2 - 1, 8 - 3) = (3, 1, 5) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 0, m - 1, 4 - 3) = (-2, m - 1, 1) \] Bước 2: Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \). \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (3, 1, 5) \cdot (-2, m - 1, 1) = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot (m - 1) + 5 \cdot 1 \] \[ = -6 + (m - 1) + 5 \] \[ = -6 + m - 1 + 5 \] \[ = m - 2 \] Bước 3: Đặt điều kiện để tam giác ABC vuông tại A. \[ m - 2 = 0 \] \[ m = 2 \] Vậy giá trị của \( m \) để tam giác ABC vuông tại A là \( m = 2 \). Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{MB}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AM}\) có tọa độ là \((x-4, y-2, z-1)\). - Vectơ \(\overrightarrow{MB}\) có tọa độ là \((-2-x, -1-y, 4-z)\). 2. Áp dụng điều kiện \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}\): - Điều này có nghĩa là: \[ (x-4, y-2, z-1) = 2(-2-x, -1-y, 4-z) \] - Ta có ba phương trình tương ứng với mỗi thành phần: \[ x - 4 = 2(-2 - x) \\ y - 2 = 2(-1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \] 3. Giải các phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ x - 4 = -4 - 2x \\ x + 2x = -4 + 4 \\ 3x = 0 \\ x = 0 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ y - 2 = -2 - 2y \\ y + 2y = -2 + 2 \\ 3y = 0 \\ y = 0 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ z - 1 = 8 - 2z \\ z + 2z = 8 + 1 \\ 3z = 9 \\ z = 3 \] 4. Tính giá trị biểu thức \(P = x + y + z\): - Thay \(x = 0\), \(y = 0\), và \(z = 3\) vào biểu thức \(P\): \[ P = 0 + 0 + 3 = 3 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là \(3\). Câu 1. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho và vẽ sơ đồ hình học để dễ dàng hơn trong việc giải bài toán. 1. Xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. - \( SA \perp (ABCD) \). - Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng \( 45^\circ \). - E là trung điểm của SD. - \( AB = 2a \), \( AD = DC = a \). - G là trọng tâm của tam giác ACE. 2. Xác định tọa độ các đỉnh: - Chọn hệ tọa độ sao cho \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (2a, 0, 0) \), \( D = (0, a, 0) \), \( C = (a, a, 0) \). - Vì \( SA \perp (ABCD) \), ta có \( S = (0, 0, h) \). 3. Tìm chiều cao \( h \): - Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng \( 45^\circ \), tức là góc giữa SB và SB' (B' là hình chiếu của B lên mặt phẳng đáy) bằng \( 45^\circ \). - \( B' = (2a, 0, 0) \), do đó \( SB' = 2a \). - \( SB = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2} \). - Vì góc \( 45^\circ \), ta có: \[ \tan 45^\circ = \frac{h}{2a} \Rightarrow h = 2a \] - Vậy \( S = (0, 0, 2a) \). 4. Tìm tọa độ của E: - E là trung điểm của SD, do đó: \[ E = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+2a}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, a \right) \] 5. Tìm tọa độ của G: - G là trọng tâm của tam giác ACE, do đó: \[ G = \left( \frac{0 + 0 + a}{3}, \frac{0 + \frac{a}{2} + a}{3}, \frac{0 + a + 0}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{3a}{6}, \frac{a}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{2}, \frac{a}{3} \right) \] 6. Tính độ dài BG: - \( B = (2a, 0, 0) \) và \( G = \left( \frac{a}{3}, \frac{a}{2}, \frac{a}{3} \right) \). - Độ dài BG: \[ BG = \sqrt{\left( 2a - \frac{a}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( 0 - \frac{a}{3} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\left( \frac{6a - a}{3} \right)^2 + \left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a}{3} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\left( \frac{5a}{3} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{3} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{25a^2}{9} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{9}} \] \[ = \sqrt{\frac{25a^2}{9} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{100a^2 + 9a^2 + 4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{113a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{113}}{6} \] Vậy độ dài BG theo a là: \[ BG = \frac{a\sqrt{113}}{6} \] Câu 2. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SC}$: - $\overrightarrow{SA} = A - S = (-2, 0, 0) - (0, 0, 4) = (-2, 0, -4)$ - $\overrightarrow{SB} = B - S = (1, \sqrt{3}, 0) - (0, 0, 4) = (1, \sqrt{3}, -4)$ - $\overrightarrow{SC} = C - S = (1, -\sqrt{3}, 0) - (0, 0, 4) = (1, -\sqrt{3}, -4)$ 2. Tìm vectơ đơn vị của $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SC}$: - Độ dài của $\overrightarrow{SA}$: \[ |\overrightarrow{SA}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{SA}$: \[ \hat{\overrightarrow{SA}} = \left(\frac{-2}{2\sqrt{5}}, \frac{0}{2\sqrt{5}}, \frac{-4}{2\sqrt{5}}\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \] - Độ dài của $\overrightarrow{SB}$: \[ |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(1)^2 + (\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 3 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{SB}$: \[ \hat{\overrightarrow{SB}} = \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, \frac{-4}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \] - Độ dài của $\overrightarrow{SC}$: \[ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{(1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 3 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{SC}$: \[ \hat{\overrightarrow{SC}} = \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}, \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, \frac{-4}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}, -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \] 3. Tìm vectơ $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$: - Vì độ lớn của mỗi lực là $\frac{30}{3} = 10$ N, ta có: \[ \overrightarrow{F_1} = 10 \cdot \hat{\overrightarrow{SA}} = 10 \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \left(-\frac{10}{\sqrt{5}}, 0, -\frac{20}{\sqrt{5}}\right) = \left(-2\sqrt{5}, 0, -4\sqrt{5}\right) \] \[ \overrightarrow{F_2} = 10 \cdot \hat{\overrightarrow{SB}} = 10 \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{10}{2\sqrt{5}}, \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, -\frac{20}{\sqrt{5}}\right) = \left(\sqrt{5}, \sqrt{15}, -4\sqrt{5}\right) \] \[ \overrightarrow{F_3} = 10 \cdot \hat{\overrightarrow{SC}} = 10 \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}, -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{10}{2\sqrt{5}}, -\frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, -\frac{20}{\sqrt{5}}\right) = \left(\sqrt{5}, -\sqrt{15}, -4\sqrt{5}\right) \] 4. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$: \[ \overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = (-2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} + 0 \cdot \sqrt{15} + (-4\sqrt{5}) \cdot (-4\sqrt{5}) \] \[ = -10 + 0 + 80 = 70 \] Vậy tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là 70.