Giúp mình với ạ ksbshes

Câu 13: Để hàm số $y=\ln(x^2-2mx+4)$ có tập xác định $D=\mathbb R$, ta cần điều kiện là biểu thức trong dấu ln luôn dương với mọi $x \in \mathbb R$. Biểu thức $x^2 - 2mx + 4$ là một tam thức bậc hai. Để tam thức này luôn dương với mọi $x$, ta cần: 1. Hệ số của $x^2$ phải dương (điều này đã thoả mãn vì hệ số là 1). 2. Đạo hàm của tam thức phải luôn dương hoặc luôn âm, tức là tam thức không có nghiệm thực. Ta xét tam thức $f(x) = x^2 - 2mx + 4$. Để tam thức này không có nghiệm thực, ta cần: \[ \Delta < 0 \] Trong đó $\Delta$ là biệt thức của tam thức bậc hai, được tính theo công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào tam thức của chúng ta: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4m^2 - 16 \] Để tam thức không có nghiệm thực, ta cần: \[ 4m^2 - 16 < 0 \] \[ 4(m^2 - 4) < 0 \] \[ m^2 - 4 < 0 \] \[ (m - 2)(m + 2) < 0 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ -2 < m < 2 \] Vậy, các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\ln(x^2-2mx+4)$ có tập xác định $D=\mathbb R$ là: \[ -2 < m < 2 \] Đáp án đúng là: D. $-2 < m < 2$. Câu 14: Để tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{2-\ln(ex)}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức dưới dấu căn: \[ 2 - \ln(ex) \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ 2 \geq \ln(ex) \] \[ e^2 \geq ex \] \[ e \geq x \] Bước 3: Xác định điều kiện của biến số \(x\) để biểu thức \(ex\) có nghĩa: \[ ex > 0 \] \[ x > 0 \] Bước 4: Kết hợp các điều kiện trên: \[ 0 < x \leq e \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ (0; e] \] Đáp án đúng là: C. $(0; e]$ Câu 15: Để tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}}+\log_3(x-4)$, ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong hàm số đều có nghĩa. 1. Phân thức $\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}}$: - Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa là biểu thức dưới căn phải lớn hơn 0: \[ x^2 - 4x + 5 > 0 \] - Ta xét dấu của tam thức bậc hai $x^2 - 4x + 5$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] - Vì $\Delta < 0$, tam thức $x^2 - 4x + 5$ luôn dương với mọi giá trị của $x$. Do đó, điều kiện này luôn thoả mãn. 2. Logarit $\log_3(x-4)$: - Điều kiện để logarit có nghĩa là biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0: \[ x - 4 > 0 \implies x > 4 \] Từ hai điều kiện trên, ta thấy rằng tập xác định của hàm số là: \[ D = (4; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: D. $D = (4; +\infty)$. Câu 16: Để giải bất phương trình $(\frac{3}{4})^{x^2 - 4} \geq 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể vì $(\frac{3}{4})^{x^2 - 4}$ luôn có nghĩa với mọi giá trị của \( x \). 2. Phân tích bất phương trình: - Ta nhận thấy rằng $(\frac{3}{4})^{x^2 - 4} \geq 1$. - Biểu thức $(\frac{3}{4})^{x^2 - 4}$ là một lũy thừa cơ số nhỏ hơn 1. Do đó, để bất phương trình này đúng, mũ của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. 3. Xác định điều kiện của mũ: - Ta có: $x^2 - 4 \leq 0$ - Giải bất phương trình này: \[ x^2 - 4 \leq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \leq 0 \] - Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} & x < -2 & -2 \leq x \leq 2 & x > 2 \\ \hline x - 2 & - & 0 & + \\ x + 2 & - & 0 & + \\ (x - 2)(x + 2) & + & 0 & - \\ \end{array} \] - Từ bảng xét dấu, ta thấy $(x - 2)(x + 2) \leq 0$ khi $-2 \leq x \leq 2$. 4. Kết luận: - Vậy tập nghiệm của bất phương trình $(\frac{3}{4})^{x^2 - 4} \geq 1$ là $[-2, 2]$. Do đó, đáp án đúng là: A. $T = [-2, 2]$. Câu 17: Điều kiện: \(x \geq 0\) Phương trình đã cho tương đương với: \[ \sqrt{x} = 2 - x \] Đặt \(t = \sqrt{x}\) với \(t \geq 0\). Ta có: \[ t = 2 - t^2 \] Rearrange the equation: \[ t^2 + t - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = -2 \] Do \(t \geq 0\), ta loại nghiệm \(t = -2\). Vậy \(t = 1\). Quay lại biến ban đầu: \[ \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \] Vậy phương trình có một nghiệm thực là \(x = 1\). Đáp án đúng là: B. 1. Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình $2^x \cdot 15^{x+1} = 3^{x+3}$ Bước 2: Viết nghiệm của phương trình dưới dạng $x = 2 \log a - \log b$ Bước 3: Tìm giá trị của $a$ và $b$ Bước 4: Tính $S = 2017a^3 - 2018b^2$ Bước 1: Giải phương trình $2^x \cdot 15^{x+1} = 3^{x+3}$ Ta có: \[ 2^x \cdot 15^{x+1} = 3^{x+3} \] Chuyển về cùng cơ số: \[ 2^x \cdot (3 \cdot 5)^{x+1} = 3^{x+3} \] \[ 2^x \cdot 3^{x+1} \cdot 5^{x+1} = 3^{x+3} \] Phân tích và nhóm lại: \[ 2^x \cdot 3^{x+1} \cdot 5^{x+1} = 3^{x+3} \] \[ 2^x \cdot 3^{x+1} \cdot 5^{x+1} = 3^{x+3} \] \[ 2^x \cdot 3^{x+1} \cdot 5^{x+1} = 3^{x+3} \] Chia cả hai vế cho $3^{x+1}$: \[ 2^x \cdot 5^{x+1} = 3^2 \] \[ 2^x \cdot 5^{x+1} = 9 \] Chuyển về dạng lôgarit: \[ x \log 2 + (x+1) \log 5 = \log 9 \] \[ x (\log 2 + \log 5) + \log 5 = \log 9 \] \[ x \log 10 + \log 5 = \log 9 \] \[ x + \log 5 = \log 9 \] \[ x = \log 9 - \log 5 \] \[ x = \log \left( \frac{9}{5} \right) \] Bước 2: Viết nghiệm của phương trình dưới dạng $x = 2 \log a - \log b$ Ta thấy rằng: \[ x = \log \left( \frac{9}{5} \right) \] Để viết dưới dạng $x = 2 \log a - \log b$, ta nhận thấy: \[ \log \left( \frac{9}{5} \right) = \log 9 - \log 5 \] Do đó: \[ x = 2 \log 3 - \log 5 \] Từ đây, ta có $a = 3$ và $b = 5$. Bước 3: Tính $S = 2017a^3 - 2018b^2$ Thay $a = 3$ và $b = 5$ vào công thức: \[ S = 2017 \cdot 3^3 - 2018 \cdot 5^2 \] \[ S = 2017 \cdot 27 - 2018 \cdot 25 \] \[ S = 54459 - 50450 \] \[ S = 4009 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. S = 4009} \] Câu 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Bất phương trình $3^x + 9 \cdot 3^{-x} < 10$ luôn có nghĩa với mọi giá trị của $x$, vì $3^x$ và $3^{-x}$ đều luôn dương. Bước 2: Nhân cả hai vế của bất phương trình với $3^x$ để loại bỏ phân thức: \[ 3^x \cdot 3^x + 9 < 10 \cdot 3^x \] \[ (3^x)^2 + 9 < 10 \cdot 3^x \] Bước 3: Đặt $t = 3^x$ (với $t > 0$): \[ t^2 + 9 < 10t \] \[ t^2 - 10t + 9 < 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình bậc hai: \[ t^2 - 10t + 9 < 0 \] Tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng: \[ t^2 - 10t + 9 = 0 \] \[ (t - 1)(t - 9) = 0 \] Nghiệm của phương trình là $t = 1$ và $t = 9$. Bước 5: Xác định khoảng giá trị của $t$ thỏa mãn bất phương trình: \[ 1 < t < 9 \] Bước 6: Quay lại biến $x$: \[ 1 < 3^x < 9 \] \[ 3^0 < 3^x < 3^2 \] \[ 0 < x < 2 \] Bước 7: Tìm các giá trị nguyên của $x$ trong khoảng $(0, 2)$: Các giá trị nguyên của $x$ là $x = 1$. Vậy, số nghiệm nguyên của bất phương trình là 1. Đáp án đúng là: D. 1.